Учебники / Stroitelnaya_mekhanika
.pdfМатрицы влияния LS и Lz являются очень важными характери
стиками рассчитываемой (исследуемой) системы. Изменение в сис
теме какого-либо параметра обязательно повлечет за собой измене ние этих матриц.
Физический смысл элементов матриц влияния указывает и на то, что для их составления можно использовать эпюры усилий или ли нии влияния усилий. Такие способы вычислений обычно использу ются для простых (с небольшим числом стержней) систем. В других случаях целесообразно применить указанную математическую
формализацию этого процесса с использованием матрицы равнове сия A и матрицы жесткости K .
Между матрицами LS и Lz существует взаимосвязь. Действи-
тельно, так как
Ls = KA T Lz .
Матрица внешней жесткости R = A K AT и матрица внешней
податливости A = R 1 широко используются в динамике и устой-
чивости сооружений.
П р и м е р . Покажем использование основных уравнений для расчета неразрезной балки. Расчетная схема балки изображена на
рис. 15.23,а. Балка имеет постоянное сечение.
A =61,2 •10-4 м2,I =0,895 • Ю -4 м4, Е =2,1 • Ю 5 МПа.
Размерность сил - кН, моментов - кН^м, длин - м.
Общее число узлов - 9.
В квадратиках указаны номера элементов балки.
Матрица A формируется по стержням с использованием 5-го
варианта табл. 15.2.
Матрица внутренней жесткости K является квазидиагональной:
diagK = [K1K 1K 1K j K 2K 2K 2K 2]•18,795 • Ю 3,
= " 4 - 2] |
= Г 4/1,5 |
- 2/1,5“ |
где K1 = |
2 =|_- 2/1,5 |
4/1,5 . |
= - 2 4 ], |
451
т
Решение системы A K A z = F дает матрицу перемещений z .
Линейные перемещения измеряются в метрах, углы поворота - в радианах.
Первому загружению балки соответствует эпюра перемещений, показанная на рис. 15.23,б.
Матрица усилий S вычислялась по выражению S = K A т z .
С ее помощью построены эпюры изгибающих моментов для ка ждого загружения (рис. 15.23,в,г,д).
Для построения линий влияния усилий использовалась матрица влияния усилий Ls , вычисляемая по выражению
Ls = K A T(A K A T)-1 .
Элементы 2, 4, 6, 9, 11, 13 столбцов суть усилия в балке от вер тикальной сосредоточенной единичной силы, приложенной соот ветственно в точках 2, 3, 4, 6, 7, 8; в столбцах 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14 содержится информация об усилиях от сосредоточенного единич ного момента, приложенного в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
В строках матрицы L s содержатся значения ординат линий влияния
усилий в соответствующем сечении балки. Так, с помощью элементов 5-й строки построена л.вл. M 3 . Усилие M 3 - это M н 3 (момент
в начале третьего элемента), или за M 3 можно принять M K 2 (момент
в конце второго элемента). Значения ординат M к 2 имеются в 4-й
строке в столбцах 2, 4, 6, 9, 11, 13. Л.вл. M 3 показана на рис. 15.23,е.
Для построения л. вл. Mg (рис. 15.23,ж) использованы значения
ординат из 15-й строки Ls .
Для согласования графиков, показанных на рис. 15.23,г-ж, по знакам усилий в матрице Ls знаки изменены на обратные.
452
3-е загружение
2-е загружение
1-е загружение
э п - Z Берт.' 1 0 , м
|
|
|
эп.M 1, |
кН • м |
|
1,0 кН |
0 ,2 т |
0-14 |
0,05 |
, |
кН • м |
г) |
|
|
эп.M 2 |
||
|
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
е)
0-028 0-044 0-038 |
^ |
0,04 |
ж) -----и и с п ш т и г т - . ------ ©_ |
л .вл .M 8 , м |
©
0,096
Рис. 15.23
453
15.16. Пространственные фермы
Координаты узлов пространственной фермы будем считать извест ными. Для стержня P1P2 (P - узел в начале, Р2 - узел на конце
——
стержня) как для направленного отрезка Р1Р2 найдем направляю
щие косинусы cosa x,cosay ,cosa z по выражениям:
|
x? - X1 |
|
У2 - У1 |
|
zo - z1 |
c o sa x = —----- , |
c o sa y = — ---- , |
co sa . = —----- , |
|||
x |
l |
y |
l |
z |
l |
где
l = V(x2 - x1)2 + ((2 - У1)2 + (z2 - z1)2 .
—
Направляющие косинусы направленного отрезка Р2Р1 суть
- co sax, - co say , - co saz .
Как и ранее,растягивающую продольную силу в стержне будем считать положительной.В концевых сечениях стержня она имеет противоположные направления. Эти направления соответствуют
——
направлениям отрезков Р1Р2 и Р2Р1 .
—
Проекции направленного отрезка Р1Р2 на оси O X , OY и OZ
равны соответственно:
lx = x2 - x1 = l cosax ,ly = У2 - У1 = l cosay ,
lz = У2 - У1 = l cosaz .
Следовательно, проекции продольной силы N , приложенной
в точке Р 2, на те же оси равны:
454
N cosax, N cosay , N cosaz,
а проекции силы N ,приложенной в точке Р1,должны быть запи саны с противоположным знаком:
- N cosax,- N cosay ,- N cosaz .
Нумерация узлов фермы определяет и нумерацию узлов Р1 и Р2,
соединяемых стержнем. При этом за начало стержня, то есть за точ куР1,принимается узел с меньшим номером.
В матрице равновесия A с каждым свободным узлом простран ственной фермы связаны три строки, в которых записываются ко
эффициенты при усилиях N в стержнях, примыкающих к этому
узлу. Эти коэффициенты являются множителями (направляющими
косинусами) при N в уравнениях ^ X = 0, ^ Y = 0, ^ Z = 0.
В практических задачах матрицу A удобнее формировать не по строкам, а по столбцам. Еще раз напомним, что направляющие ко синусы стержня Р1Р2 в уравнениях, относящихся к узлам Р1 и Р2,
будут иметь противоположные знаки. При формировании матрицы A по столбцам следует использовать для каждого стержня вектор-
шаблон а :
а = [-cosax,- cosay,- cosaz,cosax,cosay,cosaz].
Первые три элемента вектора относятся к началу стержня (узел Р1),
оставшиеся три - к концу его (узел Р2).
Основные уравнения строительной механики для пространствен
ной фермы имеют ту же форму записи, что и для плоской системы. Замечание- В случае плоских ферм матрицу равновесия также мож
но формировать через направляющие косинусы с помощью приведен
ного выше вектора а,исключив в нем компоненты: - cosaz,cosaz.
П р и м е р . Определить усилия в стержнях пространственной фермы, показанной на рис. 15.24. Жесткости EA всех стержней принять равными.
455
Рис. 15.24
Матрица равновесия фермы приведена в табл. 15.5.
В этом примере задача определения опорных реакций не стави лась. Поэтому в матрице A отсутствуют строки, соответствующие уравнениям проекций усилий в стержнях, примыкающих к опор
ным узлам, по направлениям опорных связей.
Матрица жесткости K фермы является диагональной:
K = diag{0,2;0,2; 0,125;0,2;0,2;0,125;0,2; 0,2;0,125; 0,15617;
0,15617; 0,15617; 0,15617; 0,25;0,25; 0,25;0,25;0,25; 0,25}-EA.
Примем вектор нагрузки в виде:
F = [0;|0;0;|0;|0;|0;0;|0;|- 5,0; 5,0;- 50,0;|
- 5,0;5,0;-100,0;| - 5,0; 5,0;- 50,0,f кН *.
* В ертикальны е линии разделяю т компоненты нагрузки, относящ иеся
к конкретны м узлам.
456
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15.5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 15 1617 18 19 |
-0,8 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
-0,6247 |
|
|
|
|
|
|
|
-0,8 |
|
-1 |
|
|
|
|
-0,6247 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,6247 |
|
|
1 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
0,8 |
1 |
|
|
|
|
|
0,6247 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6247 |
|
1 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
1 |
|
|
|
0,6247 |
|
0,8 -0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,6247 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,6247 |
|
-1 |
0,6 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4685 |
|
|
|
|
|
0,8 -0,8 |
|
|
|
|
0,6247 |
|
|
-0,6247 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6247 |
|
|
-0,6247 |
1 -1 |
|
|
|
0,6 0,6 |
|
|
|
|
0,4685 |
|
|
0,4685 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 -0,8 |
|
|
0,6247 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6247 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0,6 0,6 |
|
|
0,4685 |
|
|
|
Решение системы уравнений R z = F дает:
zT = [-382,96; |-254,51;14,27;|14,27;|25,73;|173,99;25,73;|382,96;| - 236,14;114,66;- 569,03;|-79,32;120,39;- 828,69;|158,01;
126,12;- 621,12]• — ,м*.
EA
* В ертикальны е линии разделяю т компоненты перемещ ений, относя
щ иеся к конкретны м узлам .
457
Усилия в стержнях фермы определяем по выражению N = K A z
N = [- 44,79;- 30,50;47,87;- 71,41;- 58,91;53,56;- 49,25;
-38,54; 47,87 ;-19,27;5,71;-10,30;-27,27;3,57; 0;0;
-6,43; 1,43;1,43]T ,кН.
15.17. Пространственные рамы
Для каждого стержня рамы ориентацию осей местной системы ко ординат (в дальнейшем они обозначаются малыми буквами x, y, z )
будем считать известной. Ось ox направлена от узла Р к узлу Р2
(отузла с меньшим номером к узлу с большим номером). Оси oy и oz
правой декартовой системы координат располагаются в плоскости,
перпендикулярной ox и проходящей через точку .Так как положе
ние сечения стержня рамы принимается заранее определенным, то тем самым устанавливается и положение осей oy и oz . Расположение
осей по каждому стержню должно быть зафиксировано однозначно.
Пусть относительно осей глобальной системы координат OXYZ:
- ось ox |
имеет направляющие косинусы tц |
, |
1 21 |
,1 31 |
; |
||
- ось oy |
имеет направляющие косинусы 1 12 |
, |
1 22 |
,1 32 |
; |
||
- ось oz |
имеет направляющие косинусы 113 |
, |
123 |
,1 33 |
. |
||
Тогда принимаемая для стержня локальная система |
координат |
|
|||||
характеризуется матрицей направляющих косинусов: |
|
|
|||||
|
t11 |
t21 |
t31 |
|
|
|
|
|
T = t12 |
t22 |
t32 |
|
|
|
|
|
_t13 |
123 |
t33 |
|
|
|
|
C помощью матрицы T совершаются преобразования декарто вых прямоугольных координат при повороте осей.
458
Определим векторы усилий и деформаций в стержне простран ственной рамы в следующем виде:
Усилия в концевых сечениях стержня, ориентированные по осям
местной системы координат, выражаются через S с помощью мат-
рицы равновесия а* : r * = a * S . Компоненты вектора
-»•* |
показаны на рис. 15.25. Положительные направления компонент
вектора S показаны на рис. 15.26.
m z , K &
I m „ K
Рис. 15.25 |
Рис. 15.26 |
На этих рисунках использовано векторное изображение момен тов. Момент, действующий относительно некоторой оси по ходу часовой стрелки (если смотреть с точки, соответствующей концу координатной оси), изображается вектором, направленным в поло жительном направлении оси. На рис. 15.25 приняты обозначения:
459
mx н, mx K - крутящие моменты в начале и в конце стержня;
my н, my K - изгибающие моменты в начале и в конце стержня
относительно оси у ;
mz н, mz K - изгибающие моменты в начале и в конце стержня
относительно оси z .
Условия равновесия для стержня позволяют получить следую
щие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
rx,н = —N ; |
|
rx,к = —rx,н; |
|
|
||
= M z,к —M z,н . |
= |
ry,н ; |
|
|
||
ry,н = |
i |
’ |
ry,к = |
|
|
|
|
M y,к —M |
y,н |
Г i = —r ■i’ |
z,» |
z,н ’ |
|
Гz^ = --- --------------' |
||||||
m |
= M ' |
|
m |
= —m |
' |
|
"‘x,н |
lv± крэ |
|
"‘x,K |
"‘x,н |
’ |
|
my,н = —M y ,н' |
|
m y,K = —my,н' |
|
|||
mz „ = M z v ; |
|
mz K= —M zK. |
|
|
Положительные направления концевых усилий (рис. 15.26) сов падают с направлениями осей местной системы координат. Поэто му для проектирования этих усилий на оси глобальной системы ко ординат используем матрицу T :
RX ,H = ^11 ■rx ,н + ^12 ■ry ,н + ^13 ■rz ,н ;
RY ,H = ^21 ■rx ,н + ^22 ■ry ,н + f23 ■rz ,н ;
RZ,H = ^31 ■rx ,н + f32 ■ry ,н + ^33 ■rz ,н ;
M X ,H = ^11 ■mx ,н + ^12 ■my ,н + % ■mz ,н ;
M Y,H = ^21 ■mx ,н + ^22 ■my ,н + ^23 ■mz ,н ;
M Z ,H = ^31 ■mx ,н + ^32 ■my ,н + ^33 ■mz ,н .
460