Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Определитель матрицы равновесия основной системы не должен быть равен нулю.

Примем в качестве основной неизвестной усилие в 4-м стержне. Тогда матрица равновесия основной системы (рис. 15.15) будет иметь следующий вид:

Определитель этой матрицы det А 0 - - 0,36.

Матрица Ах представляется четвертым столбцом матрицы рав­

новесия заданной системы:

Ах= [0,8 ;- 0,6 ;0 ;0 ;0 ;0]Г.

Найдем матрицу, обратную матрице Aq ,и Lx - матрицу влия­

ния усилий в стержнях основной системы от Xi — 1:

431

N° — A 0-1F — [-13,333 ;-13,333 ; 40 ;-33,333 ; 10 ; 16,667]Г .

Матрица внутренней податливости стержней основной системы является диагональной и представляется в такой записи:

—[0,7619; 0,7619; 0,7619; 0,9524; 0,5714; 0,9524]-10-4.

Податливость стержня, усилие в котором принято за основную

I4

неизвестную X 1,равна Dx — — 4— — 0,9524 -10 4 .

EA4

Матрица податливости основной системы по направлениям ос­ новных неизвестных в случае одной неизвестной представляется одним элементом:

D — Lrx D0 Lx + Dx — 30,857-10-5.

Перемещение по направлению основной неизвестной, вызывае­

мое заданной нагрузкой, то есть свободный член в уравнении мето­

да сил, равно:

432

A —Lrx D 0 NF —-514,286 -10-5 .

Г^ 0

D X 1 + L x D o N f — 0 , н а х о д и м X 1 — 1 6 , 6 6 7 к Н и д а л е е п о в ы р а ­

ж е н и ю ( 1 5 . 1 2 ) о п р е д е л я е м о к о н ч а т е л ь н ы е у с и л и я в о в с е х с т е р ж н я х , к р о м е ч е т в е р т о г о , з а д а н н о й ф е р м ы :

N 0 — L x X 1 + N F —

— [ - 2 6 , 6 7 ; - 1 3 , 3 3 ; 2 6 , 6 7 ; - 1 6 , 6 7 ; 0 ; 1 6 , 6 7 ] Г , к Н ,

а п о в ы р а ж е н и ю ( 1 5 . 1 3 ) - п е р е м е щ е н и я е е у з л о в :

Z — (A - 1 Г D o N o —

— [ - 0 , 2 0 3 2 ; - 0 , 5 3 5 5 ; - 0 , 3 0 4 8 ; - 1 , 4 7 7 ; 0 , 2 0 3 2 ; - 0 , 5 3 5 5 ] Г - 1 0 - 2 , м .

15.12. Статически определимые системы

В с т а т и ч е с к и о п р е д е л и м о й с и с т е м е ч и с л о н е з а в и с и м ы х у р а в н е ­ н и й р а в н о в е с и я р а в н о ч и с л у н е и з в е с т н ы х у с и л и й , п о э т о м у м а т р и ц а р а в н о в е с и я А я в л я е т с я к в а д р а т н о й . В э т о м с л у ч а е с и с т е м а у р а в ­ н е н и й ( 1 5 . 7 ) р а с п а д а е т с я н а д в е н е з а в и с и м ы е г р у п п ы у р а в н е н и й . И з п е р в о й и з н и х с л е д у е т , ч т о е с л и d e t А Ф 0 , т о :

S — A -1 F .

У с л о в и е р а в е н с т в а н у л ю о п р е д е л и т е л я м а т р и ц ы А я в л я е т с я , с л е ­ д о в а т е л ь н о , п р и з н а к о м т о г о , ч т о р а с с ч и т ы в а е м а я с и с т е м а ч а с т и ч н о г е о м е т р и ч е с к и и з м е н я е м а и л и м г н о в е н н о и з м е н я е м а .

И з в т о р о й г р у п п ы у р а в н е н и й н а х о д и т с я в е к т о р п е р е м е щ е н и й Z :

z — ( a _ 1 f ( d s + A ' ) .

433

При отсутствии внешней нагрузки получим:

S = 0 и i = (л —1f А'.

Этими соотношениями подтверждается известное свойство стати­ чески определимых систем: изменение температуры, смещение опор или неточность изготовления элементов в статически определимых системах усилий не вызывают, а вызывают лишь перемещения.

15.13. Основные уравнения строительной механики для стержня

Рассмотрим раму, загруженную узловой нагрузкой (рис. 15.16,а), и фрагмент ее дискретной схемы (рис. 15.16,б). Показанные на ри­ сунке направления узловых сил и сил взаимодействия в сечениях соответствуют направлениям осей общей системы координат.

Установим взаимосвязь нагрузки в узлах i, j и усилий в сечениях,

примыкающих к узлам. Эту зависимость проще получить вначале в ме­ стной системе координат (для стержня i —j - системе % п ), а затем, используя правила линейных преобразований, - в общей системе X Y .

Рис. 15.16

Направления усилий в концевых сечениях стержня и узловых сил, ориентированных по осям местной системы координат, пока­ заны на рис. 15.17,а,б,в.

434

F

держат по три компоненты. По отношению к стержню эти силы яв­ ляются внешними и зависимыми, они связаны тремя уравнениями равновесия:

Если напряженное состояние стержня характеризовать вектором

S = N ,Mн ,Mк ] , то необходимо установить зависимость меж­

ду SH, S K и S . В матричной форме записи эта зависимость опре­ делится таким образом:

435

Связывая эти усилия с положительными направлениями узловой нагрузки (рис. 15.17,а,в), получим зависимость между вектором уз-

При переходе к общей системе координат уравнения равновесия стержня (15.15) преобразуются.

Рассмотрим задачу о преобразовании координат вектора узловых сил при переходе от местной системы координат к общей.

Из уравнений проекций линейных сил в i -м узле на оси общей системы координат (рис. 15.18) следует, что:

436

темы координат, представим выражение для преобразования сил i -го узла в виде:

где C T - матрица оператора вращения (при повороте вектора на угол р по ходу часовой стрелки). Через C принято обо­ значать матрицу оператора вращения вектора против хода часовой стрелки.

Аналогичные соотношения имеют место и для сил в j -м узле:

Тогда для вектора нагрузки в узлах, соединяемых стержнем, пре­ образование вращения будет выполняться с помощью выражения:

437

438

В таком виде записывается матрица равновесия для стержня с защемленными концами. Как следует из (15.18), матрицы равновесия для стержней с другими условиями закрепления концов могут быть получены из данной посредством вычеркивания строк и столбцов, со­ ответствующих нулевым усилиям в стержне. В частности, если ле­ вый конец стержня будет иметь шарнирное опирание (Mн =0),

а другой конец будет защемлен, то матрица равновесия получается из исходной вычеркиванием второго столбца и третьей строки. Для стержней с различными вариантами опорных закреплений матрицы равновесия в общей системе координат записаны в табл. 15.2.

Таблица 15.2

439

Окончание табл. 15.2

Определим зависимость между деформациями стержня и пере­ мещениями его концов. Запишем вектор перемещений в общей сис­ теме координат для защемленного по концам стержня в виде:

T

z = z Н , zН , ph, zК , zK >pk

где, как и ранее, индексы “ н ” и ” к ” обозначают начало и конец стержня. Перемещения концов стержня суть пе­ ремещения узлов, которые они соединяют.

440