Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Например, max M 7 = 34,03 + 33,63 + 0,90 = 68,56 кН • м; max M 10 =-44,03 + 2,26 + 2,64 = -39,13 кН • м; min M 1 =-21,04 - 24,39 -1,02 = -46,45 кН • м; min M 11 = 5,99 -10,9 - 4,28 = -9,19 кН • м.

Соединяя плавной кривой точки, соответствующие max M , по­ лучим огибающую максимальных моментов (рис. 11.14,з). Огибаю­ щая минимальных моментов соответствует значениям min M .

Из построенных графиков следует, что на отдельных участках растянутые волокна балки располагаются только внизу (или только вверху), а на других участках растянутые волокна могут располагать­ ся как внизу, так и вверху. В сечении 11 max M ^ = 15,24 кН • м

(на рис. 11.14,з не показан), а min M n = -9,19 кН • м.

Сведения о распределении расчетных значений усилий исполь­ зуются при конструировании балок.

Аналогичный подход к построению огибающих эпюр изгибаю­ щих моментов, поперечных и продольных сил может быть приме­ нен при расчете других конструкций.

11.5. Расчет неразрезных балок на упругих опорах

Примерами упругих опор могут служить длинные колонны, на которые опирается неразрезная балка (рис. 11. 15,а), поперечные балки проезжей части металлического моста, на которые опираются продольные неразрезные балки, а также понтоны, которые служат опорами наплавного моста.

Рис. 11.15

361

На расчетной схеме балки такие опоры изображаются в виде пружин (рис. 11.15,б). Если упругие опоры являются линейно де­ формируемыми, то перемещения опорных точек балки пропорцио­ нальны реакциям опор:

y m = cm Rm ,

где cm - коэффициент податливости n -й опоры, м/кН.

Расчет неразрезных балок на упругих опорах удобно выполнять ме­ тодом сил. Основная система метода сил принимается такой же, как и при расчете балок на неподатливых (жестких) опорах. На рис. 11.16,а показан фрагмент основной системы многопролетной неразрезной балки. Подчеркивая конкретный физический смысл основных неиз­ вестных метода сил, в практических расчетах заменяют обозначе­ ния X j на M t .

Перемещение по направлению неизвестного M n (угол взаимного

поворота сечений балок, примыкающих к n -й опоре) будет вызывать­

ся только опорными моментами M n- 2 , M n- 1, M n , M n+1, M n+2

и нагрузкой, расположенной в пролетах ln- 1, ln , ln+1, ln+2 , поэтому

соответствующее каноническое уравнение метода сил имеет вид:

* n ,n - 2M n - 2 + * n ,n - ^ ^ n - 1 + $nnM n +

+ * n ,n+1M n+1 + * n ,n+2M n+2 + A n F = ° .

Его называют уравнением пяти моментов.

Деформированное состояние основной системы, вызванное Mn = 1, показано на рис. 11.16,б, а на рис. 11.16,в,г представлены эпюры моментов и даны значения опорных реакций от Mn = 1 и Mn-2 = 1.

362

Линии влияния усилий в балках на упругих опорах, как и в бал­ ках на абсолютно жестких опорах, строятся статическим и кинема­ тическим методами.

Г Л А В А 12

РА С ЧЕТ С ТА ТИ ЧЕСКИ Н ЕО П РЕД ЕЛИ М Ы Х Ф ЕРМ

12.1.Виды статически неопределимых ферм

Вданной главе рассматриваются особенности расчета ферм как шарнирно-стержневых систем с лишними связями. Напомним, что узловые соединения шарнирно-стержневых систем представляют собой идеальные шарниры без трения.

Степень статической неопределимости Л шарнирно-стержневой системы определяется по формуле:

Л = С0 + С - 2У ,

где С0 - количество опорных стержней фермы;

С - количество стержней, составляющих ферму; У - количество узлов фермы.

Примеры статически неопределимых ферм приведены на рис. 12.1, 12.2,а.

Трехпролетная неразрезная ферма с параллельными поясами и треугольной решеткой (рис. 12.1,а) является дважды внешне стати­ чески неопределимой. Отсоединенная от опор, она имеет геометри­ чески неизменяемую статически определимую структуру.

Семипанельная балочная ферма с крестовой решеткой (рис. 12.1,б) содержит семь лишних связей. Данная ферма является внутренне статически неопределимой. Внешне она статически определима: реакции ее опор можно найти из уравнений равновесия, как у про­ стой балки. Балочная ферма с параллельными поясами, треугольной решеткой и дополнительными стойками, усиленная шпренгелем (рис. 12.1,в), также внутренне один раз статически неопределима.

364

Рис. 12.1

Распорная ферма с дополнительным раскосом в центральной панели (рис. 12.2,а) статически неопределима как внешне, так и внутренне.

12.2. Особенности расчета статически неопределимых ферм

Расчет статически неопределимых ферм, как правило, произво­ дится методом сил. Основная система метода сил выбирается путем разрезания стержней фермы, либо путем удаления опорных связей (рис. 12.2), которые не являются абсолютно необходимыми.

Канонические уравнения метода сил имеют стандартный вид:

где индекс n означает количество неизвестных метода сил.

365

При узловой нагрузке в стержнях статически неопределимых ферм, как и других шарнирно-стержневых систем, будут возникать только продольные силы. Следовательно, перемещения в фермах будут зависеть только от продольных деформаций их стержней, и для вычисления перемещений следует использовать одночленную формулу Максвелла:

где знак суммирования £ распространяется на все стержни фермы; N i, N k , N F — соответственно усилия в стержнях основной

системы метода сил от единичных значений основных неиз­ вестных (X i = 1, X k = 1) и от заданной нагрузки F ;

s и EA - длина и жесткость на растяжение-сжатие соот­ ветствующего стержня фермы.

Окончательные усилия в стержнях статически неопределимых ферм вычисляют по формуле:

N= N F + Z N iX i . i=1

Все вычисления удобно вести в табличной форме. Для фермы с двумя лишними связями (рис. 12.2) такая таблица может иметь сле­ дующий вид (табл. 12.1).

Таблица 12.1

В первом столбце таблицы указываются номера стержней в про­ извольном порядке. Во второй столбец вносятся податливости

366

стержней, то есть отношения b = s /(EA) , в третий, четвертый и

пятый столбцы вносятся усилия в стержнях фермы, вычисленные в основной системе метода сил от заданной нагрузки и единичных значений основных неизвестных. В последующих пяти столбцах производятся собственно вычисления, смысл которых указан в шапке таблицы. Суммы элементов, полученных в столбцах 6-10, дают значения коэффициентов при неизвестных (единичных пере­ мещений) и свободных членов (грузовых перемещений) канониче­ ских уравнений метода сил. После того как определены значения основных неизвестных из решения системы канонических уравне­ ний, заполняются столбцы 11 и 12 (вычисляются исправленные значения усилий в основной системе от найденных значений основ­ ных неизвестных). Наконец, суммируя столбцы 3, 11 и 12, получают окончательные значения усилий в стержнях статически неопредели­ мой фермы. При необходимости в таблицу могут быть внесены допол­ нительные столбцы для осуществления промежуточных и окончатель­ ных кинематических проверок в соответствии со смыслом метода сил.

Расчет ферм методом перемещений приводит к значительно большему количеству основных неизвестных. В плоских фермах каждый узел за счет продольных деформаций стержней обладает двумя линейными смещениями. Количество основных неизвестных метода перемещений для ферм независимо от их статической опре­ делимости или неопредилимости вычисляется по формуле:

n = 2У —С0.

Как правило, метод перемещений применяют при автоматизиро­ ванном расчете ферм на компьютерах в матричной форме на основе общих уравнений строительной механики (глава 15) или на основе метода конечных элементов (глава 16).

12.3. Построение линий влияния усилий

При расчете ферм на подвижную нагрузку для определения ее наибо­ лее невыгодного расположения применяются линии влияния. На основа­ нии теоремы о взаимности реакций и перемещений (кинематический ме­ тод построения линий влияния) линия влияния усилия в любом стержне (связи) статически неопределимой фермы совпадает с линией прогибов

367

узлов грузового пояса фермы, вызванных действием единичного переме­ щения по направлению этого усилия (этой связи).

Процесс построения линии влияния усилия в некотором стержне (связи) статически неопределимой фермы можно осуществить и несколько по иному, на основании теоремы о взаимности переме­ щений. Разрезается стержень (удаляется связь), линию влияния усилия в котором (которой) требуется построить. Степень статиче­ ской неопределимости фермы при этом уменьшается на единицу. Ферму с удаленной связью можно рассматривать как основную сис­ тему метода сил, в общем случае статически неопределимую. Ос­ новное неизвестное, реакция в удаленной связи, зависит от точки приложения единичной подвижной силы. Закон изменения этого основного неизвестного и определяет искомую линию влияния. Из соответствующего канонического уравнения находим:

где Su - перемещение в основной системе по направлению уда­

ленной связи от единичного значения усилия в этой свя­ зи, то есть величина постоянная;

S1F(х ) - перемещение в основной системе по направлению

удаленной связи от подвижной единичной силы, то есть функция аргумента х - абсциссы точки приложения единичной подвижной силы;

S f1(х) - функция того же аргумента х, но выражающая со­

бой перемещения по направлению подвижной единичной силы от единичного значения неподвижного основного неизвестного X 1 = 1 , то есть эпюра перемещений (эпюра

прогибов грузового пояса) в ферме с удаленной связью от единичного значения усилия в этой связи.

Таким образом, чтобы построить в статически неопределимой ферме линию влияния некоторого усилия, необходимо удалить связь, воспринимающую это усилие. Затем к ферме с удаленной связью по направлению этой связи прикладывается единичная сила (единичное усилие в удаленной связи). От приложенной единичной

368

силы определяются прогибы всехузлов грузового пояса, и строится эпюра перемещений (линия прогибов). По направлению удаленной связи вычис­ ляется также перемещение S11 . Обычно это перемещение отличается от

единицы. Следовательно, ординаты линии прогибов, уменьшенные в S11

раз, и представляют собой ординаты искомой линии влияния.

Построение линии влияния усилия (реакции) в статически неоп­ ределимой ферме требует многократного вычисления перемещений в некоторой основной системе (статически неопределимой, если степень статической неопределимости исходной системы выше единицы), полученной из заданной, удалением одной связи. Вычис­ ление перемещений в фермах по формуле Максвелла представляет собой громоздкий, утомительный процесс.

Поэтому для построения линий влияния усилий в «лишних» стерж­ нях ферм или, что равноценно, линий прогибов узлов грузовых поясов рационально применять метод перемещений, где перемещения всех уз­ лов являются основными неизвестными и определяются в первую оче­ редь. Особенно эффективны в этом процессе компьютерные технологии и известные проектно-вычислительные комплексы (ПВК).

При использовании ПВК линию влияния любого усилия можно по­ строить и по ее прямому определению, как результат многократного вычисления этого усилия от действия единичных вертикальных сил, прикладываемых поочередно к каждому из узлов грузового пояса.

Если тем или иным способом построены линии влияния усилий во всех «лишних» связях статически неопределимой фермы (л.в. X k , k = 1,2,..., n ), то линия влияния усилия в любом другом стержне

( л.в. N J ) может быть построена по простой формуле:

л.в. N J = л.в. N 0' + X N / (л.в. X k ), k=1

где л. в. N 0 - линия влияния рассматриваемого усилия в основ­ ной системе метода сил при n = Л удаленных связях;

N k - усилие в рассматриваемом стержне в основной сис­ теме метода сил от единичного неизвестного X k = 1 .

369

Г Л А В А 13

РА С ЧЕТ С ТА ТИ ЧЕСКИ Н Е О П РЕ Д Е ЛИМЫ Х АРОК, ВИСЯЧИХ И К О М БИ Н И РОВАННЫ Х СИ СТЕМ

13.1.Виды статически неопределимых арок

Встроительной практике наиболее часто находят применение следующие виды статически неопределимых арок: двухшарнир­

ные (рис. 13.1,а), характеризующиеся наличием двух шарниров, как правило, опорных, или пятовых; одношарнирные (рис. 13.1,б), содержащие один шарнир, как правило, ключевой; бесшарнирные (рис. 13.1,в), представляющие собой один криво­ линейный стержень, жестко защемленный по концам. Двухшар­ нирная арка имеет одну «лишнюю» связь, одношарнирная арка дважды статически неопределима, а бесшарнирная арка трижды статически неопределима.

а)

б)

в)

Рис. 13.1

По очертанию арки выполняются, как правило, симметричными. В зависимости от характера нагрузки ось арки может быть очерчена по квадратной параболе, по дуге окружности или иной кривой, мо­ жет иметь переломы. Поперечное сечение арки может быть как по­ стоянным по длине арки, так и переменным.

Все виды арок являются распорными системами, то есть при действии на арку только вертикальной нагрузки в ее опорах возни­ кают и горизонтальные опорные реакции.

370