Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Следовательно, арки требуют создания мощных опорных устройств. Чтобы не передавать на ниже расположенные конструкции значительные горизонтальные усилия, применяют арки с затяжками. Обычно затяжки разной конструкции устраивают в двухшарнирных арках (рис. 13.2). Двухшарнирная арка с затяжкой, сохраняя свойства распорных систем, имеет балочные опоры и передает на опорные конструкции от вертикаль­ ной нагрузки только вертикальные усилия. Она может быть расположена на высоких колоннах или стенах без контрфорсов.

Особенности расчета один раз статически неопределимых арок рассмотрим на примере расчета двухшарнирной арки с затяжкой.

13.2. Расчет двухшарнирной арки с затяжкой

Двухшарнирная арка с затяжкой является внешне безраспорной. Распор воспринят затяжкой, и его следует рассматривать как внутреннюю растяги­ вающую силу в затяжке. Двухшарнирная арка с затяжкой является один раз статическинеопределимой, и еенетрудно рассчитатьметодом сил.

Рассмотрим двухшарнирную арку с прямолинейной затяжкой, расположенной в уровне опор (рис. 13.3,а). Арка имеет переменное по длине пролета поперечное сечение и загружена вертикальной нагрузкой. Основную систему метода сил можно получить, рассе­ кая затяжку (точнее, удаляя из затяжки связь, воспринимающую продольную силу). Основным неизвестным метода сил будет уси­ лие в затяжке N 3am= X 1 (рис. 13.3,б).

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

5 ц X 1 + Л ^ = 0,

где 5 ц - взаимное перемещение концов затяжки в месте разреза,

вызываемое единичным усилием в затяжке X 1 = 1 ;

Л ^ —взаимное перемещение концов разрезанной затяжки

от нагрузки.

371

Основная особенность расчета арок состоит в том, что интегра­ лы Мора для вычисления перемещений в арках должны браться по длине оси арки, то есть являются криволинейными интегралами. Свободный член канонического уравнения, то есть грузовое пере­ мещение, находят по одночленной формуле Мора:

Л j M M p d s j y (x )M p d s

1F = S E J (x ) “ ~S E J (x ) '

Коэффициент при неизвестном (единичное перемещение), вы­ числяемый с учетом продольных деформаций затяжки, находят по двучленной формуле:

Чтобы в этих криволинейных интегралах перейти к интегриро­ ванию по длине пролета, то есть по абсциссе х , введем замену:

d s = - d x

cos p( x)

где p( x) - угол наклона к горизонтали касательной к оси арки в сечении с абсциссой x .

В результате для вычисления коэффициента и свободного члена канонического уравнения метода сил получим следующие формулы:

ЛL y ( x ) M F d x

lF о E J (x) cos p(x)

Таким образом, вычисление перемещений в арках, как и в других криволинейных стержнях, оказывается значительно более трудоемким, чем вычисление перемещений в прямолинейных стержнях постоян­

373

ного сечения. Вычисление определенных интегралов по правилу перемножения эпюр (по правилу Верещагина) здесь невозможно, так как под знаками определенных интегралов стоит произведение нескольких нелинейных функций. Для вычисления перемещений в арках применяют методы численного интегрирования (формулы прямоугольников, трапеций, формула Симпсона).

Принимая во внимание введенные выше предположения о неучете продольных и сдвиговых деформаций арки, допустимо при­ менить для вычисления перемещений в арке более простой числен­ ный метод - метод прямоугольников. Для этой цели пролет арки разбивают на достаточно малые участки, желательно, одинаковой длины, нумеруют их в определенной последовательности и в сред­ нем сечении каждого участка вычисляют значения всех подынте­ гральных функций. В итоге процедура взятия определенного инте­ грала заменяется вычислением конечной суммы произведений зна­ чений подынтегральных функций в серединах участков:

где k —номер участка;

n —количество участков.

Обычно все вычисления проводят в таблицах (табл. 13.1).

374

Сумма элементов предпоследнего столбца дает часть единично­ го перемещения, обусловленную изгибными деформациями арки. Полное единичное перемещение найдем как сумму:

После того как из решения канонического уравнения будет най­ дено усилие в затяжке:

- A 1F

N зат X 1

Л1

внутренние силы в любом сечении двухшарнирной арки можно найти по тем же формулам, что и в трехшарнирной арке:

M x = Mx0 - X 1Ух;

Qx = Q 0 c o s P x - X 1s i n Px;

N x = - ( Q0 s l n Px + X 1 c o s Px ) .

Индекс x в данных формулах обозначает произвольное сечение арки.

13.3.Влияние податливости затяжки на усилие в затяжке

Встатически неопределимых системах распределение усилий в элементах зависит от соотношения их жесткостей (податливостей).

Следовательно, и податливость затяжки L / ( ЕАз а т ) будет влиять

на значение усилия в затяжке. Полученную в предыдущем разделе формулу для вычисления усилия в затяжке можно переписать сле­ дующим образом:

375

Графическое изображение зависимости усилия в затяжке от еежесткости дано на рис. 13.4.

Если постепенно уменьшать жесткость затяжки, то есть величину FA^зат, или, что то же самое, увеличивать податливость затяжки, ве­ личину L /(F A ,,^ ) , то усилие в затяжке будет уменьшаться. Чем сла­

бее, податливее затяжка, тем меньше воспринимаемое ею усилие. В пределе, при затяжке нулевой жесткости, то есть при ее отсутствии, арка с затяжкой превращается в безраспорную криволинейную бал­ ку; усилие в затяжке равно нулю.

С другой стороны, если постепенно увеличивать жесткость за­ тяжки F A ,,^ усилие в ней будет также увеличиваться, однако в

гораздо меньшей степени. В пределе, при стремлении жесткости затяжки к бесконечности, а податливости - к нулю, усилие в затяж­ ке будет асимптотически стремиться к величине:

-AMFi

H = °(M ) °11

где H - величина, численно равная распору двухшарнирной арки без затяжки на шарнирно-неподвижных опорах (рис. 13.1,а).

То есть в этом предельном случае, когда затяжка абсолютно не­ растяжима, двухшарнирная арка с затяжкой превращается в двух­ шарнирную арку на неподвижных опорах - в обыкновенную двух­ шарнирную арку.

376

Таким образом, относительно слабая затяжка не позволяет полно­ стью использовать преимущества арки с затяжкой как распорной сис­ темы. В противовес, чрезмерно жесткая затяжка практически оказыва­ ется бесполезной. Усилие в жесткой затяжке не может превысить рас­ пора арки без затяжки, вычисляемого по последней формуле.

При расчете двухшарнирных арок без затяжки за основное неиз­ вестное также принимают распор ( X 1 = H ). Основную систему

метода сил получают, отбрасывая горизонтальный опорный стер­ жень одной из опор. Единичная и грузовая эпюры изгибающих мо­ ментов в основной системе для двухшарнирной арки без затяжки получаются такими же, как и для арки с затяжкой (рис. 13.3,в,г). Распор двухшарнирной арки без затяжки вычисляют по формуле:

13.4. Особенности расчета бесшарнирной арки

Бесшарнирная арка является трижды статически неопределимой. Для определения трех основных неизвестных метода сил необходимо составить и решить три канонических уравнения. Соответствующим выбором основной системы метода сил можно добиться даже полного разделения системы канонических уравнений на три отдельных урав­ нения, каждое с одним неизвестным, при произвольном очертании оси арки и произвольной нагрузке. Варианты основных систем, представ­ ленные на рис. 13.5,а,б,в, позволяют обнулить побочные коэффициен­ ты канонических уравнений и привести уравнения к виду:

°11X 1 + A1F = 0 ;

°22X 2 + A2F = 0 ;

°33X 3 + A3F = 0 .

377

Добиться такого результата можно ценою дополнительных вы­ числений по определению длины жестких консолей (рис. 13.5,а,б). Так, например, в симметричной арке (рис. 13.5,б) основное неиз­ вестное X 1 является кососимметричным и отделено от двух других прямосимметричных неизвестных. Разделить основные неизвест­ ные X 2 и X 3 можно, подобрав длину абсолютно жестких консо­

лей Уо так, чтобы перемещение °23 равнялось нулю. Точку, в ко­

торой находятся концы абсолютно жестких консолей, называют уп­ ругим центром арки. Полного разделения основных неизвестных можно добиться, поместив в упругий центр конец единственной консоли (рис. 13.5,а). Тот же результат можно получить и при ос­ новной системе в виде трехшарнирной арки (рис. 3.5,в), сгруппиро­ вав основные неизвестные X 1 и X 3 и определив положение край­

них шарниров из условий, чтобы побочные коэффициенты канони­ ческих уравнений метода сил обратились в нуль.

Однако в век электронных калькуляторов и компьютеров реше­ ние систем линейных алгебраических уравнений второго-третьего порядка не представляет каких-либо затруднений. Поэтому можно отказаться от выбора оригинальных основных систем и дополни­ тельных вычислений.

Рис. 13.5

Так, основная система, полученная сквозным разрезом бесшарнирной арки по оси симметрии (рис. 13.5,г), позволяет сразу разделить три совместных канонических уравнения на одно независимое уравнение

378

относительно кососимметричного основного неизвестного X и на систему двух совместных уравнений относительно двух симмет­ ричных основных неизвестных X 2 и X 3 :

^11X 1 + A1F = 0 ;

&22X 2 + ^23X 3 + А2F = 0 ;

^32X 2 + ^33X 3 + А3F = 0 •

К таким же результатам приводит и основная система в виде криволинейной балки (рис. 13.6,б). Рассмотрим данный вариант бо­ лее подробно, так как многие вопросы, свойственные такой основ­ ной системе, уже нашли свое отражение в расчете двухшарнирных и трехшарнирных арок.

М ,

М „

М ,

Рис. 13.6

Сгруппируем неизвестные опорные моменты, разложив их на кососимметричное групповое неизвестное X 1 и симметричное

групповое неизвестное X 2 . Основное неизвестное X 1 = 1 вызовет

в арке линейную кососимметричную эпюру (рис. 13.6,в). Ординаты этой единичной эпюры можно вычислить в обычной системе коор­ динат с началом на левой опоре по уравнению М ^х ) = 1—2х / L .

379