Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

системе также равно 2n + m :уравнений равновесия - m,геомет­ рических уравнений - n,физических уравнений - n .Следователь­

но, записанная система линейных независимых уравнений имеет

единственное решение. Это значит, что при заданных на конструк­

цию воздействиях F и А' из решения системы уравнений нахо­ дится единственная картина распределения в ней усилий, переме­ щений и деформаций. Такую систему определяющих математиче­

ских соотношений называют математической моделью расчета стержневой системы.

Порядок системы уравнений (15.6) можно понизить. Например, ес­

ли из третьей группы уравнений найти вектор деформаций А и под­ ставить его во вторую группу уравнений, то система уравнений (15.6)

преобразуется к виду:

(15.7)

или в матричной форме записи:

Неизвестными в этом варианте математической модели являют­ ся усилия и перемещения, поэтому систему уравнений вида (15.7) или (15.8) называют системой уравнений смешанного метода.

Решение уравнений смешанного метода позволяет найти усилия в стержнях системы и перемещения ее узлов.

15.10. Метод перемещений

Представим уравнения равновесия в перемещениях. При отсутствии

в системе бесконечно жестких элементов диагональная матрица D яв­

ляется неособенной матрицей, ее определитель не равен нулю. Поэто­ му из второй группы уравнений (15.7) можно найти вектор S :

421

S = D_1 (aT z - A ')= K (aT z - A '),

где K - матрица внутренней жесткости системы.

Подставив S в первую группу уравнений (15.7), получим запись уравнений равновесия через перемещения z в виде:

AK(A Tz -A') = F или AKATz = F + AK A'. (15.9)

Эта система уравнений является системой уравнений метода перемещений. Введем обозначение R = AKA T и перепишем ее в таком виде:

Матрица R - это матрица внешней жесткости упругой системы,

она имеет размер (m•m ) .

Как следует из схемы вычислений, матрица R является симмет­ рической относительно главной диагонали, при этом элементы мат­

рицы вычисляются с учетом влияния продольных и изгибных де­ формаций. Если расчет ведется только на действие нагрузки, то есть

если вектор принудительных деформаций A' = 0, то система урав­ нений метода перемещений записывается в виде:

или в развернутой форме:

422

По определению, r^ - усилие (реакция) в i -й связи, вызванная

смещением zk = 1.

П р и м е р . Рассчитаем методом перемещений раму, показанную

на рис. 15.6. Соотношение жесткостей стержней на растяжение-

сжатие и изгиб примем равным:

EAh2 = 1,(h = 1 м).

EJ

10кН/м

Рис. 15.6

Прежде всего, преобразуем заданную нагрузку к узловой. Кон­ цевые реакции в однопролетных статически неопределимых балках, загруженных распределенной нагрузкой, и очертание эпюр изги­

бающих моментов в них (рис. 15.7) найдем с помощью табл. 9.1. Тогда расчетную схему рамы с узловой нагрузкой можно предста­ вить такой, какой она показана на рис. 15.8.

Основная система для расчета рамы с учетом продольных де­ формаций стержней изображена на рис 15.9. Положительные на­ правления основных неизвестных соответствуют правилу знаков,

указанному в разделе 15.2.

423

Рис. 15.7

Рис. 15.8 Рис. 15.9

Используя матрицу равновесия и матрицу внутреннейTжесткости рамы, вычислим матрицу внешней жесткости R = A K A .

424

Вектор нагрузки F в уравнении вида Rz = F соответствует загружению, показанному на рис. 15.8:

F = [4,5; - 22,5; 0 ;- 37,5; 45,0]T .

Решив систему уравнений метода перемещений, получим:

~z = [-9,184; -81,619; -25,745; -98,381; 25,444]T •— .

EJ

Вектор усилий, вычисляемый по выражению S = K A z ,запи­ шем в виде:

S = [- 27,21; 3,06; - 5,52; 28,24; - 32,79; -16,76; - 0,20]T .

425

На рис. 15.10,а,б показаны соответствующие этому вектору эпю­ ры усилий в раме.

Посредством наложения на эпюру M (рис. 15.10,б) эпюр изги­ бающих моментов в балках (рис. 15.7) получаем окончательную эпюру M в раме (рис. 15.11).

Естественно, что при другом исходном соотношении жесткостей

EA/EJ ординаты эпюры M будут отличаться от найденных. Чтобы оценить влияние продольных деформаций на распределе­

ние перемещений и усилий в раме, выполним ее расчет с учетом только изгибных деформаций (рис. 15.12,а). Пренебрегая продоль­ ными деформациями, выберем основную систему метода переме­ щений с двумя неизвестными (рис. 15.12,б).

426

4кН/м

Ш 7,

Рис. 15.12

Выполнив необходимые этапы вычислений, найдем значения

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 15.13.

Рис. 15.13

15.11. Метод сил

Для статически неопределимой системы число уравнений равно­ весия (m) меньше числа неизвестных усилий (n). Матрица равно­

весия A имеет размеры (m•n).Выполним нумерацию неизвестных

усилий так, чтобы последние номера (из общего их числа n) были присвоены тем усилиям, которые принимаются за основные неиз-

427

вестные метода сил, и разобьем матрицу A вертикалью на две мат­ рицы A0 и Ax :

A= [A Ax],

где A 0 - это матрица равновесия основной системы, detA0 ф 0 . Усилия в стержнях принятой основной системы обозначим S0 .

Матрица Ax содержит те столбцы матрицы A , которые соот­

ветствуют основным неизвестным X метода сил. Запишем уравнения равновесия в следующем виде:

A0 S0 + Ax X = F .

Геометрические уравнения A z = А и физические А = D S + А' после приведения их к виду A T z — D S = А' с учетом блочной за­

писи матрицы A можно символически представить так:

Матрично-векторная запись этих операций сводится к двум под­ системам уравнений:

A0 Z— D 0 S0 = А 0 ,

aT z — D x X = Аx .

Таким образом, система уравнений смешанного вида может быть записана в виде трех уравнений:

A0 S0 + Ax X = F’

A z —D0 S0 = А0 ,

428

Определив X ,по (15.12) можно найти усилия в стержнях, при­ надлежащих основной системе, и затем по (15.13) - вектор узловых

перемещений z .

П р и м е р . Покажем расчет методом сил фермы, изображенной на рис. 15.14. Площади сечений всех стержней будем считать оди­ наковыми и равными A = 0,25 м . Модуль упругости материала

Е = 2,1-105 МПа.

Рис. 15.14

Матрица равновесия этой фермы с учетом принятой нумерации узлов и стержней имеет следующий вид:

Степень статической неопределимости фермы равна к = n- m =

= 7 - 6 = 1.

Одним из главных условий выбора основной системы метода сил является, как известно, условие ее геометрической неизменяемости.

430