Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

471

' Ч Щ w i t e r

29,10 30,27 14,17

Рис. 15.34

Если в этом примере вектор нагрузки принять в виде:

F = [-100; -1 3 ; 53; 0; 0; 0; 0; 0; 0; -1 0 0 ; 13; - 5 3 ] ,

то получим:

z T = [-284,09; 63,23; -2 ,3 5 ; -238,28; 88,28; 36,61; -238,28;

-88,28; -33,61; -284,09; 63,23; 2,35]- — J E J

S = [51,50; -1,69; 2,72; 15,25; 19,47; 19,47; -1,69; 15,25;

2,72; 51,50; 118,21; 4,22; 106,91; 44,61; 46,30;

46,30; 4,22; 44,61; 106,91; 118,21]Т.

Советуем читателю провести анализ распределения перемеще­ ний узловых точек и усилий в стержнях для первого и второго за­ гружений СПБ.

472

Г Л А В А 16

ВАРИАЦИОННЫ Е П РИ Н Ц ИПЫ

И ВАРИАЦИО Н Н Ы Е М ЕТО ДЫ

СТРО И ТЕЛ ЬН О Й М ЕХ АНИКИ.

МЕТО Д К О Н ЕЧ Н Ы Х ЭЛЕМ ЕНТОВ

16.1.Потенциальное силовое поле. Потенциальная энергия

Силовым полем называют пространство, в каждой точке которо­ го на помещенную туда материальную точку действует определен­ ная сила.

Это понятие является весьма общим. Примерами силовых полей являются гравитационные поля планет, магнитное поле какогонибудь объекта, электростатическое поле и т. п. Особое место среди них занимают потенциальные силовые поля, обладающие двумя важными физическими свойствами: 1) сила этого поля - позицион­ ная, то есть F = F (x ,y, z ); 2) работа силы поля не зависит от траек­ тории, вдоль которой перемещается приложенная к некоторой точ­ ке сила, а зависит только от положений начальной и конечной то­ чек; она может быть вычислена через интегральную сумму соответ­ ствующих элементарных работ:

Силы, действующие в потенциальном силовом поле, называются потенциальными.

Если выражение, стоящее под знаком интеграла (16.1), является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y, z ), то есть:

473

С у четом последн его у сл о ви я получаем :

(M 2)

Работа потенциальной силы равна разности значений силовой функ­ ции в конечной и начальной точках пути движ ения силы. Из соотнош е­ ния (16.2) следует, что силовая функция находится из равенства:

U = j (F x d x + F y d y + F z d z) + C .

П остоян н ая C м ож ет им еть лю бое значение. К ак видно из р а ­

теп лообм ен а с окруж аю щ ей средой), так и при и зотерм и ч ески х п р о ­ ц ессах (то есть процессах, п рои сход ящ и х в ф и зи ческой систем е при п остоян н ой тем п ературе) потенциальны . Д ля эти х си л сущ ествую т силовы е функции.

С ила у п р у го сти в цен трально растян утом стерж не (рис. 16.1) н а­

п равлен а в сторону, п роти вополож н ую вн еш н ей силе F .

А Z

F x

0

Рис. 16.1

474

П оэтом у F x = - F = - r x ( r - ко эф ф и ц и ен т ж есткости у п р у ­

гого стерж ня). Э лем ен тарн ая раб о та это й си лы р авн а dA = - r x d x .

чи н у то й работы , которую соверш ила бы сила поля при перем ещ ении м атериальной точ ки из данного полож ения в то, в котором потенци ­ альная энергия условно приним ается равной нулю (точка O ):

П= A (M O).

Так как дл я ф ункций П ( x, y , z ) и U ( x, y , z ) нулевы е зн ачен ия

совпадаю т (следует из определений), то из (16.3) при U 0 = 0 получаем:

475

A (MO) = U 0 - U = - U ,

где U —значение силовой функции в точке M .

Таким образом, получаем:

П (x, y, z) = - U (x, y, z).

Работу потенциальной силы можно вычислять не по выражению (16.3), а по формуле:

A .M М 2) = П 1 - П 2 ,

то есть она равна разности значений потенциальной энергии в на­ чальном и конечном положениях точки.

Работа и энергия, разумеется, измеряются в одних и тех же единицах. Напомним, в системе СИ основными единицами являются: метр (м) - единица длины, килограмм (кг) - единица массы, секунда (с) - единица времени. Единицей работы и энергии является джоуль (Дж). 1 Дж равен работе, которая совершается силой в 1Н на пути в 1 м.

В технике часто используется система МКГСС. Единицей рабо­ ты является 1 килограмм-сила-метр (1 кГс-м) - работа, которая со­ вершается силой в 1 кГс на пути в 1 м.

Соотношения между единицами: 1 кГс • м = 9,81 Дж; 1 Дж =

=0,102 кГс-м.

16.2.Потенциальная энергия деформации упругой системы

Частным случаем общего определения потенциальной энергии, данного в разделе 16.1, является определение потенциальной энер­ гии упругого деформированного тела, то есть поля сил упругости.

Потенциальная энергия U деформации упругой системы - это ве­ личина той работы, которую совершили бы внутренние силы при пе­ реводе ее из деформированного состояния в недеформированное; это энергия сил упругости. Она равна по абсолютной величине, но проти­ воположна по знаку действительной работе внутренних сил, то есть:

U = - A enymp .

476

В частн ости , для ли н ей н о -уп ругого стерж н я при растяж ен и и - сж атии:

U (N) = 1 j N 2dx

В общ ем случае для плоской стерж н евой систем ы :

20

Вн екоторы х случ аях эн ерги ю деф орм ац и и стерж н я у д о б н о в ы ­

рази ть не через ф ункции u ( x ) или y ( x ) , а через п ерем ещ ен и я о т ­ дел ьн ы х сечений.

477

нительная потенциальная энергия (дополнительная работа). Д ля линей-

тт ттdon

но-упругого стерж ня U = U .

16.3. Выражение потенциальной энергии деформации через квадратичные формы

обобщенных перемещений и обобщенных сил. Производные от выражений потенциальной энергии

Э н ерги я деф орм ац и и U , равн ая работе вн еш н и х сил, оп р ед ел я ­

ется равенством :

U = 2 (F 1 A 1 + F 2 A 2 + — + F n A n ) =

A1

An

Т ак как A = A • F , то:

1 ^ T

U = - F T A F . (16.5)

2

П олучен а м атри чн ая зап и сь квадрати чн ой ф орм ы n п ерем ен н ы х F 1, F 2, — , F n , где A - м атри ц а квадрати чн ой ф ормы :

479

Если в формуле (16.5) результат операции умножения предста­ вить в скалярной форме записи, то получим:

Потенциальная энергия системы всегда положительна. Следова­ тельно, записанная квадратичная форма ни при каких значениях F1 , F2, — ,Fn не может стать отрицательной. Такие квадратичные

формы называются положительно определенными. Выражение (16.4) представим в виде:

(16.7)

Вектор F можно выразить через матрицу внешней жесткости

F= R A , R = A-1 .

Сучетом этого энергия деформации запишется так:

Получена матричная запись квадратичной формы через обоб­ щенные перемещения.

480