Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Матрицы равновесия стержней плоских и пространственных ферм, плоских изгибаемых систем, систем перекрестных балок по­ лучаются как частные случаи из записанной матрицы a (15.22) вы­ черкиванием соответствующих строк и столбцов.

Матрица внутренней жесткости защемленного по концам стерж­ ня имеет следующую форму записи:

EA l

462

Основные уравнения строительной механики для расчета стержневой системы в форме метода перемещений представ­ ляются в виде:

R z = F + A K А '.

Матрица уравнений равновесия A рассчитываемой системы со­ ставляется поэлементно с помощью матриц равновесия a (15.22) стержней.

П р и м е р . Построить эпюры продольных сил, крутящих и изги­ бающих моментов в раме, показанной на рис. 15.27, принимая для всех стержней следующее соотношение жесткостей:

E A h 2 = GIKP = E Jy = E J Z, ( h = 1 м).

Рис. 15.27

Положения локальных осей координат для каждого стержня ра­ мы, показанные на рис. 15.28, определяют матрицы направляющих косинусов:

463

Принимая вектор нагрузки F = [0; 0; -11; 3; 7,5; o f

(размерность сил - кН; моментов - кН • м; длин - м; положительные моменты направляются относительно осей общей системы коорди­ нат по ходу часовой стрелки, если смотреть с точки, соответствую­ щей концу оси), получим:

Z = [-1,87; - 2,75; -17,54; - 3,89; 2,64; 0 ,7 6 ] ] ,

E Jy

S = [-0,31; 0,65; - 3,80; 4,68; - 0,21; - 0,05; | 0,92; 0,88; 6,51; - 9,10;

- 0,24; 0,74; | - 4,38; - 0,19; -1,94; 0,62; - 2,86; 0,91;]T.

Эпюры усилий показаны на рис. 15.29. На рис. 15.30 показаны (в аксонометрии) изгибающие и крутящие моменты, действую­ щие на вырезанный узел 2. Моменты подразделены на группы в соответствии с их расположением по отношению к координат­ ным плоскостям.

465

Рис. 15.29

Рис. 15.30

Для этого узла выполняются также и уравнения проекций сил на координатные оси.

F1 =[12,0; 0 ;-9 8 ,0 ; 4 0 ,0 ;- 52,0; 0 ; f ,

466

F2 = [0; 0;-98, 0; 40,0; 64,0; o f .

Рис. 15.31

Размерность сил - кН, моментов - кН •м, длин - м.

Матрицы направляющих косинусов осей местной системы коор­ динат для стержней рамы представляются в следующей форме:

Матрицы жесткости 4-го и 5-го стержней совпадают:

467

2,357

0,354

После формирования матрицы внешней жесткости R = AKA

решаем систему уравнений Rz = F и определяем усилия в стерж­

нях рамы по выражению S = K A z .

Эпюры усилий показаны на рис. 15.32.

0,50

57,82

Рис. 15.32

П р и м е р . Для системы перекрестных балок (СПБ), показанной на рис. 15.33, примем изгибные жесткости для всех стержней рав­ ными и GIKP = 0,27EJ.

468

Рис. 15.33

Матрица уравнений равновесия, составленная с помощью мат­

рицы равновесия астержня в общей системе координат, записана

в табл. 15.7.

469