Подставим выражения усилий из уравнений равновесия стерж ней в уравнения равновесия узлов. После несложных преобразова ний получим:
—N 1 + -1 |
M H2 —Y M к 2 + F2x = 0, |
l2 |
|
l2 |
1 |
1 |
|
—~T M H1 + T~M K1 —N 2 + F2у = 0, |
l1 |
l1 |
|
—M K1 + |
M H2 +F2P = 0. |
|
H2 |
2p |
Матричная форма записи этой системы уравнений будет
следующей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|- |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 ■ |
- N 1 - |
|
|
—1 |
|
l2 |
l2 |
M H1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
—1 0 |
0 |
M K1 + F- |
= 0 |
|
—h |
h |
1 |
|
|
|
N 2 |
2у |
|
|
|
|
|
F22р |
|
0 |
0 |
—1 |
| |
0 |
1 |
0 |
M H2 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
- |
_M K2 - |
|
|
или сокращенно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
S + F |
= 0. |
|
|
(15.2) |
В уравнениях (15.2) знаки компонент вектора F соответствуют принятым положительным направлениям узловых нагрузок. Для чис ленного решения этих уравнений совместно с другими перепишем их в виде:
где Л = —Л - матрица равновесия:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 - |
|
l2 |
l2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
h |
—h |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
S = [N1, M H 1, MK1, N 2 , M H 2 , M к 2] T - вектор усилий;
F = [F2x, F2у , F2cpY - вектор нагрузок.
Чтобы легко ориентироваться в структуре матрицы Л , напом ним, что в ее первой строке записаны коэффициенты при неизвест ных усилиях в концевых сечениях стержней из уравнения равнове
сия Е x = 0, во второй - из уравнения X у = 0, в третьей - из уравнения X M 2 = 0. При этом в первых трех столбцах матрицы записаны коэффициенты при усилиях N , M H, M K в первом стержне, то есть в стержне 1-2, а в последующих трех - при соот ветствующих усилиях во втором стержне (в стержне 2-3). Показан ный способ формирования матрицы равновесия называют спосо бом формирования матрицы “по узлам”. Для рам с большим ко личеством узлов он является трудоемким и поэтому используется на практике не часто. Другой, более эффективный, позволяющий организовать формирование матрицы Л “по стержням”, изложен в разделе 15.14.
15.5. Геометрические уравнения
Представим процесс “перехода” рамы (рис. 15.3) в деформиро ванное состояние как результат последовательного влияния сначала продольных сил в ее элементах, что равносильно загружению соот ветствующей шарнирной системы узловой нагрузкой, вызывающей те же значения продольных сил, а затем, при положении узлов в точках 1, 2' и 3, влияния изгибающих моментов, переводящих
стержни в изогнутое состояние. Согласно допущению о малости перемещений, второй этап деформирования не изменяет положения
412
узлов рамы. Поэтому деформацию каждого защемленного по кон цам стержня можно характеризовать тремя составляющими:
Alj - абсолютное удлинение (укорочение) i -го стержня,
A^Ht, ApKi - углы поворота концевых сечений.
Следовательно, векторы деформаций 1-го и 2-го стержней рамы (рис. 15.3) имеют вид:
A1 = [Al1, A PH 1, A pK1]T,
A2 = [Al2, A pH2, A pK2 ] .
Рис. 15.3
При этом, как следует из рисунка, на котором все компоненты вектора перемещений 2-го узла показаны положительными, имеют место соотношения:
A VH 1 |
= Z2,ApK1 = z3 — |
l1 |
|
l1 |
A pH2 |
= —z3 —~T ,А Фк2 = ~T |
|
|
l 2 |
l 2 |
Замечание - В выражении для Афн2 угол принят отрицатель ным, т.к. направление угла поворота Афн2 не совпадает с направ лением положительного момента в начале 2-го стержня.
Вследствие малости деформаций можно принять, что A /1 = Z1
и a /2 = z2 .
Записанные соотношения позволяют установить взаимосвязь
|
между вектором деформаций A |
и вектором перемещений Z в мат |
|
ричной форме: |
|
|
|
|
|
|
Al1 |
' |
1 |
0 |
0" |
|
|
ApH1 |
|
0 |
1/11 |
0 |
Z1 |
|
ApK1 |
|
0 |
— 1/11 |
1 |
|
|
z2 |
|
A l2 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
z3 |
|
ApH2 |
— V l2 |
0 |
— 1 |
|
|
|
_ApK2_ |
_ |
V l2 |
0 |
0 |
|
|
Сопоставляя с (15.3), получаем уравнения с транспонированной |
|
матрицей равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = AT z |
|
(15.4) |
называемые геометрическими уравнениями. Они же являются урав
нениями неразрывности деформаций стержневой системы.
Матрицу AT называют матрицей деформаций. С ее помощью вы числяются деформации элементов системы через перемещения узлов.
Чтобы у читателя не сложилось мнение о том, что матрица де формаций для рассмотренного примера оказалась случайно сов
павшей с транспонированной матрицей равновесия, изучим вопрос
о взаимосвязи этих матриц подробнее.
15.6. Принцип двойственности
Уравнения равновесия составлялись для недеформированного состояния системы, то есть в предположении малых деформаций ее элементов, вызывающих малые перемещения узлов.
Благодаря этому допущению, уравнения равновесия и геометри ческие уравнения получились линейными. Системы, к которым
применимо это допущение, называют геометрически линейными. Важным свойством уравнений является то, что матрицы урав
нений равновесия и геометрических уравнений являются взаимно
транспонированными. Эта связь может быть показана в общем
виде. Пусть, например, между векторами z и A существует за
висимость в виде:
A 1 z = A .
В соответствии с принципом возможных перемещений для сис
темы, находящейся в равновесии, сумма работ внешних и внутрен
них сил на возможных перемещениях равна нулю. За возможные примем действительные перемещения. В таком случае:
F T z — ST A = 0 .
Подставляя в это выражение FT = ST AT и A = A 1 z , будем
иметь ST AT z — ST A1 z = 0, откуда следует равенство A 1 = AT.
Полученная зависимость является для линейных систем общей и выражает собой статико-геометрическую аналогию расчетных со отношений.
В случае больших перемещений задача определения напряжен но-деформированного состояния становится нелинейной. Системы, в которых имеют место большие перемещения и малые деформа ции, и соответствующие им задачи называют геометрически нели нейными. Примером геометрически нелинейных систем могут быть некоторые вантовые системы. Для этих систем уравнения равнове
сия составляются для деформированного состояния их, то есть с
учетом узловых перемещений. Матрица A уравнений равновесия будет зависеть от перемещений z , матрица Aj геометрических уравнений тоже будет зависимой от z ,причем
Статико-геометрическая аналогия для геометрически нелиней ных задач проявляется в более сложной форме. Ее рассмотрение выходит за рамки данного учебного пособия.
В последующем изложении материала по расчету стержневых систем рассматриваются геометрически линейные системы.
15.7. Физические уравнения
Связь между вектором деформаций и вектором усилий для от дельного (i -го) стержня устанавливается линейной: А i = Dt St.
Напомним, что:
Для определения компоненты А ф н следует рассмотреть загружение стержня концевыми усилиями M Hi и M Ki (грузовое состояние)
и загружение единичным моментом в начале стержня (рис. 15.4). “Перемножая” эпюры, получим:
2l l
Аналогичные рассуждения позволят записать выражение:
l 2l
|
Ш |
M K |
|
|
1 |
M v |
|
M K |
.. |
|
|
M^н = |
Ш |
1 |
|
|
г |
1 |
|
|
— — |
l-------------i |
Рис. 15.4
Учитывая, что податливость стержня от продольной силы равна
l
,матрица податливости стержня при учете деформаций рас-
М,
тяжения-сжатия и изгиба будет следующей:
l
( А )
|
21 |
l |
6 |
(EJ \ |
6 (E J) |
|
l |
21 |
6 |
(EJ ) |
6 (EJ) |
В состав рамы (рис. 15.3) входят два стержня, поэтому матрица внутренней податливости системы является квазидиагональной:
D
D =
D'2.
афизические уравнения запишутся в виде:
А= d S .
15.8. Особенности расчета системы на изменение температуры, осадку опор и неточность изготовления стержней
Учет этих факторов производится соответствующей корректи
ровкой физических уравнений. Вектор деформаций, вызываемых усилиями от нагрузки F ,следует суммировать с вектором дефор
маций А' стержней от заданного воздействия.
При изменении температуры по отношению к некоторому на
чальному состоянию стержни рамы деформируются (рис. 15.5).
Обозначим через t1 изменение температуры по верхней грани стерж
ня, через t2 - по нижней.
в |
t |
, |
H - I---------------- |
-\-К |
|
l |
t2 |
|
t1 + t2
Пусть t2 > t1. Изменение температуры по оси стержня t = — 2—
вызывает его удлинение А l = a 1 1;разность температур t'= 12 — 1\
вызывает поворот торцевых сечений на углы, определяемые по
формуле (7.12):
a t ' l
А Фн = А Фк = ~ Т Т . |
h |
2 |
Направления поворота сечений на рис. 15.5 показаны положи тельными.
В таком случае вектор деформаций для показанного стержня за пишется:
Для всей системы вектор деформаций образуется стыковкой век
торов для отдельных стержней.
При расчете фермы на неточность изготовления ее стержней
вектор А Н известен по условию задачи. Компоненты вектора де формаций от неточного изготовления стержней определяются раз ностью реальных и проектных значений длин стержней.
Вектор деформаций стержней от осадки опор можно получить так. Выделим из матрицы A строки, связанные с условиями равно весия опорных узлов по направлениям опорных связей. Перемеще ния могут иметь все опорные узлы или только часть из них. Число
таких строк, равное числу опорных связей, обозначим через r . Со ответствующие условия равновесия для опорных узлов системы
запишутся в виде:
A (r)S - 0 .
(r)
Разобьем матрицу A w на блоки с помощью вертикальной пере городки (табл. 15.1) и будем рассматривать ее как сложную матри
цу A (r)-A (r- r ,A(r)
|
|
|
|
|
Таблица 15.1 |
|
Si |
S2 |
n Со |
S n _ r+ 1 |
Sn |
|
|
1 |
1 |
X |
X |
X |
1 |
|
|
X |
X |
X |
|
1 |
Матрица A(rJr имеет тип r •(n - r), а матрица A(r)- r •r . Усилия Sn_r+i,...,Sn равны реакциям в опорных связях:
Sr - R .
Уравнения равновесия для опорных узлов можно записать сле дующим образом:
4 1 К _r + 4 )S r - 0 .
Так как A*r) - единичная матрица, то:
R - S - _ A(r) |
S |
r n_r n_r |
|
При заданных перемещениях опорных связей вектор деформа ций стержней определим по выражению:
Длина вектора z равна r .
С учетом изложенного о расчете на рассмотренные воздействия
физические уравнения следует записать в виде: |
|
А - D S + А '. |
(15.5) |
15.9. Общие уравнения для расчета стержневой системы. Смешанный метод
Уравненияравновесия (15.3), геометрические (15.4) и физиче ские уравнения (15.5)образуют в совокупности общую систему уравнений для расчета линейно деформируемой стержневой системы. Представим их в следующем виде:
"A S - F ;
А _ D S - А '.
Искомыми величинами в (15.6) являются n -мерный вектор уси
лий S , m-мерный вектор перемещений Z и n-мерный вектор де
формаций А . Всего неизвестных - (2n + m). Число уравнений в
