Учебники / Stroitelnaya_mekhanika
.pdf
q =10 кИ/м |
|
|
|
|
1111111 |
|
|
|
|
|
20,0 |
|
|
|
J |
M |
|
|
M) (кИ• м) |
|
q=10 кИ/м |
|
|
|
— |
_ Д ! |
%i |
' |
2 |
|
|
|||
M (кИ• м)
. .. W 4 80
Рис. 7.21
Вспомогательное состояние к определению угла поворота сече ния С показано на рис. 7.20,д, а соответствующая ему эпюра изги бающих моментов - на рис. 7.20,е.
MM2-ЛMF dx |
— |
1 20 • 8 —0,5 + |
||
Д2F = I J |
EJ |
|||
|
E J |
2 |
3 |
|
1 |
2 ап а |
93,33 |
рад. |
|
+--------- 80 • 8 • 0,25 = -------- |
||||
E J |
3 |
|
E J |
|
П р и м е р . Найти горизонтальное перемещение точки A рамы, показанной на рис. 7.22,а.
Вспомогательное состояние (состояние 1) показано на рис. 7.22,б. Соответствующие состояниям рамы эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 7.22,в,г.
rM7—M7F dx |
= |
1 |
1 |
1 |
6 • 4 |
16 + 32 |
|||
Д—F = Z f |
1 |
F |
E------J |
3 |
16 • 4 • 3 + ----- |
----------+ |
|||
1F |
|
E J |
|
|
2E J |
|
2 |
||
|
|
1 |
1 |
^ |
, 2 , |
1568 |
|
|
|
|
|
+-------- |
32 • 4 —4 = |
-------м. |
|
|
|||
|
|
E J 2 |
|
|
3 |
3E J |
|
|
|
202
|
|
а) состояниеF |
б) состояние 1 |
|
2 |
кН |
N2EJ |
|
|
|
|
|
||
м \ , EJ |
EJ \ |
|
||
|
|
А |
B |
|
|
|
_Jm |
-------/ |
|
|
|
J — |
|
|
в)
16, шшшИШПШП 32
(кН * м)
Рис. 7.22
В этом примере искомое перемещение вычислено в виде суммы инте
гралов по трем стержням. На каждом из них функции M i (х) и M F (х)
имеют вполне определенные аналитические выражения. Если по длине одного стержня эпюры моментов описываются различными функциональными зависимостями, то стержень необходимо разбить на соответствующие участки, вычислить интегралы отдельно для каждого участка и результаты вычислений суммировать.
Еще раз отметим, что способ Верещагина нельзя применять в случае, когда обе эпюры усилий являются нелинейными. Так, на пример, его нельзя применить к вычислению площади эпюры про гибов балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой.
Такое же правило вычисления интегралов применимо и к двум другим слагаемым в формуле Мора для определения перемещений.
Величину определенного интеграла, как известно, можно вычис лить с помощью формул численного интегрирования, основанных на замене интеграла конечной суммой:
203
b |
n |
j f (x) dx * |
£ ckf (xk ), |
a |
k=0 |
где Xk - точки отрезка [a, b];
Ck - числовые коэффициенты.
Записанное равенство, в общем случае приближенное, называют квадратурной формулой, точки Xk - узлами квадратурной форму
лы, а числа Ck -коэффициентами квадратурной формулы. Погреш
ность квадратурной формулы |
|
b |
n |
V = j f (x) dx - |
Z ckf (xk ) |
a |
k=0 |
зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициен тов. Наиболее часто в практических приложениях к задачам строи тельной механики используется равномерная сетка узлов; при этом исходный интеграл представляется в виде суммы интегралов по частичным отрезкам, на каждом из которых применяется квадра турная формула.
Простейшими квадратурными формулами для одного интервала являются формула прямоугольников
a
и формула трапеций (Т)
a
Естественно, что даже в случае функций f (x) близких к линей ным, использование этих формул приведет к погрешности в вычис лениях перемещений.
204
При действии на систему, составленную из прямолинейных эле ментов, сосредоточенных сил или равномерно распределенной на грузки эпюра изгибающих моментов на отдельных участках стерж ня ограничивается прямой линией или параболой. Если для этой системы необходимо определить линейное или угловое перемеще ние какой-нибудь точки, то во вспомогательном состоянии от дей ствия силы Fi = 1 очертание эпюры “ M ” будет определяться ли
нейными зависимостями M (x) . В таком случае при f 3(x) = const
функция f (x) = fi (x) f2 (x) будет представлена кривой второй
или третьей степени. Тогда на участках стержней с постоянной же сткостью интеграл Мора можно вычислить точно с помощью фор мулы Т. Симпсона (формула парабол):
b |
l |
|
j f( x ) d x =~{yi + 4У2+Уз X |
(710) |
|
a |
6 |
|
где y i, У2 , Уз - |
значения функции в концевых точках отрезка |
|
[a, b] и посередине его (рис. 7.23). |
|
|
Формула Симпсона является точной для любого многочлена не выше третьей степени.
Определим с помощью формулы Симпсона вертикальное пере мещение сечения D и угол поворота сечения C для балки, пока занной на рис. 7.20:
205
“Перемножение” эпюр M F и M i на вертикальном стержне выпол
ним по правилу Верещагина, на наклонном (его длина равна V10 м) - по Симпсону:
Л1F |
= --------- |
1 • 3,75 - |
+ — -(-1 • 3,75 + 4 • 5,625 • 1,5 + 37,5 • 2) = |
|||
1F |
E J 2 |
3 |
6 |
• 2EJ ,— |
|
’ |
|
|
-1,25 |
+ 8,75 V10 |
= |
26,42 |
|
|
|
= ----------------------- |
|
E J |
-------- м. |
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
Если функция f (x) на некотором участке стержня будет пред
ставляться более сложным выражением, чем многочлен третьей степени, что возможно для стержней криволинейного очертания, или при изменении жесткости вдоль оси стержня, или при действии на него неравномерно распределенной нагрузки, то результат вы числения по формуле Симпсона будет приближенным.
На частичном отрезке погрешность оценивается так:
U < — M , 1 1 2880
где
M = sup f IV (x)*, xe[a, b]
то есть на этом отрезке формула Симпсона имеет точность o (h 5 ),
на всем отрезке - o (h 4), в то время как формула трапеций, так же
как и формула прямоугольников, имеет второй порядок точности.
П р и м е р . Определить с помощью формулы Симпсона площадь эпюры прогибов консольной балки постоянного поперечного сече ния, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой.
* Лат. supremus - высший.
207
Эпюры M F и M 1 показаны на рис. 7.25.
|
СостояниеF |
|
|
Состояние 1 |
|
..................Я |
|
|
|
|
|
I I |
П |
I и |
^ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ql2 |
1q l2 |
x9ql |
|
|
|
3 Г |
8 . |
32 |
|
|
//4 |
j //4 j, //4 j, l/ 4 |
|
|
||
Здесь: |
|
|
Рис. 7.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = M F (x) M 1(x) = qX- |
|||
Для варианта с одним участком длиной l |
получим: |
||||
|
|
l |
л ql2 l 2 ql2 2l ,2 Л |
|
|
|
|
6E J |
4 - ------- + ^ |
2 2 |
19,2 E J |
|
|
8 8 |
|||
Точное решение получено ранее непосредственным интегриро
ванием. Площадь равна Л ^ =
|
|
|
20 EJ |
|
|
Е |
|
q |
1 |
/5 |
/5 |
Если принять — |
= 1, то погрешность вычисления |
w = ------------= |
|||
|
|
E J |
19,2 20 |
||
= 2,083 -10 |
|
3 l 5, |
что соответствует указанной |
ранее |
оценке |
- M =■ |
6 = 2,083 • 10 3 l 5, где принято: |
|
|
||
2880 |
2880 |
|
|
|
|
208
|
= sup |
|
|
|
|
Л .4 >IV |
||
M |
f IV (x) |
sup |
|
= 6. |
||||
|
x e [a , b] |
|
|
x e [a , b] V 4 У |
||||
Для варианта с двумя участками длиной |
|
получим: |
||||||
|
|
l |
|
л q l 2 l |
|
2 |
,2 Л |
|
|
|
|
2 q l 2 |
l |
||||
|
|
|
|
4 - |
-------- + ^ |
|
+ |
|
|
2 • 6 E J V 32 32 |
8 8 У |
||||||
l |
f q l 2 l 2 + 4 9 q l 2 9 12 + q l 2 l 2 ^ |
|||||||
+ - |
8 8 |
|
|
32 |
32 |
2 |
2 |
19,95 E J |
2 • 6EJ |
|
|
||||||
Погрешность равна у |
|
15 |
15 |
|
|
|
||
= - |
-------= 1,253 • 10- 4 l 5 . На всем от- |
|||||||
|
|
|
|
19,95 |
20 |
|
|
|
резке интегрирования погрешность оценивается так: |
||||||||
|
|
I |
I |
.4, |
|
|
|
|
|
|
h4(b - a) |
|
|
||||
|
|
W |
< — ^-------LM . |
|
|
|||
|
|
|
|
2880 |
|
|
|
|
В данном случае h |
|
l |
b - a = l |
l |
|
i5 |
||
= —, |
и, значит, у < ------------ 6 = |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
16•2880 |
= 1,302 •Ю-4 l 5 .
Формула Симпсона построена на трех равноотстоящих узлах. В некоторых случаях применяются квадратурные формулы и с большим числом равноотстоящих узлов. В частности, такой форму лой, построенной на четырех узлах, является следующая:
f f (x)Jx^ b - a |
f ( a) + 3 f ^a + |
j + 3 f (Va + 2(b3 a) у + f (b) |
8 |
|
|
Ее иногда удобно использовать для перемножения линейных эпюр усилий. Результат вычисления получается точным. Например, если перемножаемые эпюры имеют вид, показанный на рис. 7.26, то интеграл Мора на этом участке будет равен:
209
Рис. 7.26
В общем случае, формулы с большим числом равноотстоящих узлов применяются относительно редко.
7.8. Определение перемещений от тепловых воздействий
Пусть для системы в состоянии а (раздел 7.6) внешним воздей ствием является тепловое, то есть температура ее элементов изме нилась по отношению к некоторому начальному состоянию. При мем для бесконечно малого элемента (рис. 7.27) этой системы тем пературу нижнего волокна равной ^ , верхнего - ?2 , и распределе ние температуры по высоте сечения по линейному закону.
210