Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Для арки параболического очертания (рис. 4.6,а), нагруженной одной силой, на рис. 4.6,б представлена эпюра изгибающих мо­ ментов в соответствующей двухопорной балке, а на рис. 4.6,в - эпюра (-Hy). Окончательная эпюра изгибающих моментов в арке (рис. 4.6,г) построена на горизонтальной проекции оси арки.

Поперечная сила в сечении арки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, включая опорные реакции, действую­ щие по одну сторону от сечения, на нормаль к оси арки в этом сече­ нии. Для сечения x (рис. 4.5,в) получим:

Qx = RA cOSPx - F1cOSPx - F2cOSPx - H sin Px =

= XRA - F1F2)cOSPx - H sln Px .

Выражение в скобках (RA - F 1- F2) представляет собой балочную

поперечную силу. Обозначив ее через Q° , получим следующую фор­

мулу для определения поперечной силы в произвольном сечении арки:

Для арок, как и для других систем, соблюдается известная диф­ ференциальная зависимость Q =dM / ds , использующаяся при по­

строении эпюр Q и M. Так, при принятых правилах знаков для эпюр M и Q возрастание функции изгибающих моментов с увеличением s (или x) будет соответствовать положительной поперечной силе, а ее убывание - отрицательной. Сечения, в которых поперечная сила равна нулю, будут соответствовать экстремальным значениям изги­ бающих моментов. Изменение знака поперечной силы с положи­ тельного на отрицательный в окрестностях точки экстремума будет соответствовать наибольшему изгибающему моменту M , а измене­ ние знака Q с отрицательного на положительный будет соответст­ вовать наибольшему изгибающему моменту M ). Сечение, в котором поперечная сила экстремальна, соответствует точке перегиба на эпюре изгибающих моментов.

Продольная сила в сечении арки равна алгебраической сумме про­ екций всех внешних сил, включая опорные реакции, действующие по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки в рассматривае­ мом сечении. Для произвольного сечения x (рис. 4.5,в) получим:

101

4.3. Линии влияния усилий в трехшарнирных арках

Для определения вертикальных опорных реакций от действия вертикальной подвижной единичной силы (рис. 4.8,а) составим уравнения равновесия в виде сумм моментов сил, действующих на арку, относительно левой и правой опор:

Z M B = 0 ; - 1 (l - xP) + RAl = °-

Из этих уравнений найдем выражения для определения опорных реакций:

Полученные зависимости полностью совпадают с соответст­ вующими зависимостями для простой двухопорной балки. Таким образом, линии влияния вертикальных опорных реакций в арке (рис. 4.8,в,г) совпадают с линиями влияния опорных реакций в со­ ответствующей двухопорной балке (рис. 4.8,б).

Распор в арке определяется по выражению (4.5):

н = M e f

Значит, л. в. Н = (л. в. М°с Уf .

Таким образом, чтобы построить линию влияния распора в арке необходимо построить линию влияния изгибающего момента в сечении С соответствующей двухопорной балки (рис. 4.8,б,д) и все ее ординаты разделить на значение стре­ лы подъема арки f (рис. 4.8, е).

Линии влияния внутренних сил в сечениях арок построим с ис­ пользованием полученных ранее зависимостей (4.7)—(4.9).

Так как изгибающий момент в сечении К (рис. 4.8,а) вычисляется по формуле:

104

M K =MK - HyK ,

то выражение для построения его линии влияния примет вид:

л.в. М к = (л. в. MK ) - (л. в. Н )у к .

Всоответствии с полученным выражением линия влияния М к

строится посредством суммирования линии влияния изгибающего

момента в сечении К соответствующей двухопорной балки MK

(рис. 4.8,ж) и линии влияния распора Н, взятой с множителем (-yK).

Окончательный вид л. в. М к показан на рис. 4.8,и.

Поперечная сила в сечении К, согласно (4.8), определяется по за­ висимости:

QK = QK cos Рк - н sin Рк .

Следовательно, построение ее линии влияния следует вести по выражению:

л. в.

Линия влияния распора Н уже построена (рис. 4.9,б), остает­ ся построить линию влияния балочной поперечной силы в сече­ нии К (рис. 4.9,в). Затем умножаем все ординаты л.в. QK на cos (рк (рис. 4.9,г), а ординаты л.в. Н - на sin рк (рис. 4.9,д).

Взяв их разность, получим линию влияния поперечной силы в сечении К арки (рис. 4.9,е).

Аналогично, исходя из формулы (4.9)

получим выражение для построения линии влияния продольной си­ лы в сечении К арки:

105

Соответствующие графики слагаемых этого выражения и окон­ чательная л. в. N K показаны на рис. 4.9,ж-и.

Линии влияния в арках могут строиться и кинематическим мето­ дом. Суть кинематического метода изложена в главе 2.

4.4. Рациональное очертание оси арки

Рациональной называют такую ось арки, при которой показатель эффективности арки (стоимость, масса материала, трудозатраты на изготовление и т. д.) будет наилучшим. В случае, если наибольшее влияние на прочность арок оказывают изгибающие моменты, ра­ циональному очертанию оси арки будет соответствовать равенство нулю изгибающих моментов во всех сечениях арки.

При действии только вертикальных нагрузок изгибающие мо­ менты в сечениях арки определяются выражением (4.7). Приравняв это выражение нулю, найдем зависимость изменения ординат ра­ циональной оси арки в виде:

М 0

У = — . (4.10)

н

Из этого выражения следует, что ординаты оси арки рациональ­ ного очертания при действии только вертикальных нагрузок про­ порциональны изгибающим моментам, возникающим в соответст­ вующей двухопорной балке, имеющей тот же пролет и ту же на­ грузку, что и арка. Коэффициент пропорциональности при этом ра­ вен величине, обратной распору Н .

Определим рациональную ось трехшарнирной арки при дей­ ствии на нее вертикальной равномерно распределенной нагруз­ ки (рис. 4.10,а).

Опорные реакции в арке в этом случае равны:

Изгибающий момент в произвольном сечении x из рассмотрения левой части арки записывается в виде:

108

Из этого уравнения получим dN = 0. А это значит, что про­ дольная сила N в арке в этом случае будет величиной постоян­ ной (N = const).

Составим теперь сумму проекций сил на ось z, совпадающую по направлению с биссектрисой угла в :

чиной второго порядка малости dN d t / 2 , получим:

- N d e - q r d e = 0.

Разделив полученное уравнение на d t , найдем радиус кривизны арки:

г =N q '

Следовательно, при N = const рациональному очертанию оси ар­ ки соответствует окружность.

4.5. Расчет трехшарнирных арок с надарочным строением

Часто нагрузки на арки передаются не непосредственно, а через надарочные строения, схемы которых показаны на рис. 4.11.

Расчет таких систем на неподвижные нагрузки начинается с рас­ чета надарочного строения, которое представляет собой совокуп­ ность однопролетных балок. Нагрузка, приложенная к надарочному строению, передается на арку через вертикальные стержни. После определения в них усилий расчет арки может выполняться как рас­ чет обычных трехшарнирных арок, загруженных системой сосредо­ точенных сил (рис. 4.11).

Построение линий влияния усилий в арках с надарочным строе­ нием выполняется так же, как и в балках при узловой передаче на­ грузки. Например, для арочной системы, изображенной на рис. 4.12,а, линия влияния изгибающего момента в сечении К арки

110