Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Будем считать, что при переходе системы из действительного состояния в новое, вызванное возможными перемещениями, внеш­ ние и внутренние силы не меняются.

Работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях носит название возможной работы. С учетом введенных замечаний эта работа определяется как работа неизменных сил на возможных перемещениях.

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие рав­ новесия деформируемой системы. Формулируется он так: если система находится в равновесии под действием приложенных к ней внешних сил, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении то­ чек этой системы сумма работ ее внешних и внутренних сил равна нулю. Представим формальную запись этого принципа в виде:

где W (возм) - возможная работа внешних сил;

Вводя понятие степени свободы стержневой системы (см. раз­ дел 1.4) мы предполагали, что ее стержни являются абсолютно твердыми, недеформируемыми. Учитывая это, а также определение понятия о возможных перемещениях, надо отметить, что в исход­ ном состоянии статически определимой системы (W = 0) нельзя за­ давать возможные перемещения. Как же тогда применять принцип возможных перемещений к расчету таких систем?

Для использования этого принципа в задачах расчета статически оп­ ределимых систем применяется основная аксиома механики несвобод­ ных материальных тел - принцип освобождаемости. Удалим какуюлибо связь (опорную, или из числа тех, которые показаны на рис. 2.6) и приложим к системе, кроме заданных внешних сил, усилие S, которое могло бы возникнуть в удаленной связи. Такая система будет пред­ ставлять собой механизм с одной степенью свободы (W = 1) и, значит, допускает одно возможное перемещение. Ее равновесное состояние возможно только в том случае, если неизвестное усилие S в удаленной связи будет равно истинному значению.

Полученному механизму зададим возможное перемещение. Работа внутренних сил по всей длине недеформируемых элементов равна ну­ лю. Рассматривая усилие в удаленной связи как внешнюю силу, уравне­ ние возможных работ всех сил (уравнение Лагранжа) запишем в виде:

61

где Si - искомое усилие в связи i , St - перемещение по его направлению;

Fk - к -я обобщенная сила, Aк - перемещение по направ­ лению силы F k .

Если направления силы и соответствующего ей перемещения совпадают, то работа положительна.

Так как расчет ведется по недеформированной схеме, то в системе с одной степенью свободы все перемещения Si и Aк выражаются через один параметр. Сократив каждое слагаемое уравнения (2.6) на этот параметр, решим его относительно S i .

Например, определяя реакцию VB в опоре B двухпролетной статически определимой балки (рис. 2.13,а), удалим опорную связь в точке B и приложим в этой точке неизвестную силу VB . Поло­ жение механизма с одной степенью свободы определяется одним параметром. В качестве этого параметра примем угол поворота бал­ ки AB (рис. 2.13,б). Так как р , по определению, является беско­ нечно малым углом, то Ai= 21р, Ав = 4 /р , A2= 5 /р , Аз= 51р.

62

Уравнение работ (2.5) запишется в виде:

W (возм) = Vb 419 - Fx2 l9 - F2 5l9+ F3 5l9 = 0.

Решение его дает VB = 17,5 кН.

При определении усилия в стержне 1-2 шпренгельной балки (рис. 2.14,а) последовательность действий остается такой же, как и в предыдущем примере. После удаления в заданной балке стержня 1-2 получим механизм, возможные перемещения которого характеризуются взаимным поворотом стержней AC и CB относительно точки С . За­ дадим правому диску возможное перемещение в виде поворота его

б)

Рис. 2.14

Из уравнения возможных работ

найдем N 1_2 = 35 кН.

63

Г Л А В А 3

О ПРЕД ЕЛЕНИ Е У СИ Л И Й ОТ ПОДВИЖ НЫ Х НАГРУЗОК

3.1.Понятие о подвижной нагрузке

иособенностях расчета на ее действие

Подвижной называется нагрузка, которая перемещается по со­ оружению, не меняя направления действия. Примерами таких на­ грузок могут служить давления от колес автомобилей, автомобиль­ ных поездов, железнодорожных составов, двигающихся по эстака­ дам, мостам; давления от колес различного рода грузовых тележек, подъёмников, перемещающихся по перекрытиям производственных зданий и сооружений; давления от колес мостовых кранов на под­ крановые балки и т. п. Нагрузка в этих случаях может рассматри­ ваться как система связанных между собой сил с заданными рас­ стояниями между ними (расстояниями между осями колесных пар этих транспортных и грузовых средств). По своей природе подвиж­ ная нагрузка является динамической. Однако ускорения масс со­ оружений при действии таких нагрузок малы, вызывают незначи­ тельные силы инерции, поэтому их влиянием обычно пренебрегают. Учет динамического действия подвижных нагрузок, при необходи­ мости, может быть выполнен путем использования методов расчета, рассматриваемых далее в динамике сооружений.

Статический расчет сооружений на действие подвижных нагру­ зок выполняется с помощью линий влияния усилий.

Линия влияния усилия - это графическое изображение измене­ ния усилия в определенном элементе сооружения при перемещении по сооружению единичной силы постоянного направления.

При построении линии влияния некоторого усилия или реакции рассматривается произвольное положение на сооружении единич­ ной силы. Для этого состояния составляются уравнения равновесия. Из уравнений равновесия получают функциональную зависимость рассматриваемого усилия от абсциссы положения силы. График этой зависимости и представляет искомую линию влияния.

Отметим отличия линий влияния усилий от эпюр усилий.

Эпюра усилий представляет собой график, показывающий зна­ чения соответствующего усилия (изгибающего момента, попереч-

64

ной силы, продольной силы) во всех сечениях рассматриваемого сооружения от действия определенной совокупности заданных не­ подвижных нагрузок. Ординаты эпюры усилий показывают значе­ ние усилия в том сечении элемента сооружения, где они отложены. При любом изменении нагрузок усилия изменяются, и эпюры уси­ лий необходимо строить заново.

Линия влияния представляет собой график, характеризующий изменение конкретного усилия в одном строго определенном сече­ нии сооружения в зависимости от положения подвижной единич­ ной сосредоточенной силы. Ордината линии влияния показывает значение соответствующего усилия при положении единичной си­ лы в том месте, где рассматриваемая ордината отложена. По данной линии влияния нельзя ничего сказать об изменении усилий в других сечениях сооружения.

Единичная подвижная сила при построении линий влияния при­ нимается безразмерной. Поэтому размерности линий влияния уси­ лий определяются выражением

[размерность усилия]

Соответственно ординаты линий влияния опорных реакций, по­ перечных и продольных сил будут безразмерными (Н /Н ), а раз­ мерность ординат линий влияния изгибающих моментов будет рав­ на размерности длины (Н • м / Н = м ).

Линии влияния усилий позволяют:

-определять значения усилий от нагрузок при любом их поло­ жении;

-находить наиболее невыгодные расположения нагрузок на со­ оружении с целью определения экстремальных (максимальных и минимальных) усилий.

3.2.Статический метод построения линий влияния усилий

впростых балках

Особенности применения статического метода рассмотрим на примере построения линий влияния опорных реакций и усилий в одном из сечений для консольной балки (рис. 3.1).

65

Опорный момент изменяется по линейному закону. Для по­ строения графика прямой линии достаточно вычислить ординаты в двух точках. Так, при xFA = 0, M RA = 0 , а при xFA = l , M RA = l . Соединив эти точки прямой, получим линию влияния опорного мо­ мента (рис. 3.1,в).

Изгибающий момент и поперечную силу в сечении К определим из уравнений равновесия правой части балки, когда сила F = 1 рас­ положена справа от сечения К :

влияния М к и QK показаны на рис. 3.1,г,д.

Наибольшее по модулю значение изгибающего момента в сече­ нии K возникает при расположении силы на конце консоли. При положениях силы правее сечения К растянуты верхние волокна балки, поэтому ординаты изгибающего момента отрицательны. По­ перечная сила в сечении К при том же положении силы положи­ тельна (вращает элемент балки по часовой стрелке) и равна едини­ це. В сечении К линия влияния изгибающего момента имеет излом, а линия влияния поперечной силы - разрыв на единицу (скачок).

Построим линии влияния опорных реакций RA и RB для двух­ опорной балки с консолями (рис. 3.2,а). Из уравнений равновесия

Полученные зависимости представляют собой уравнения пря­ мых, которые построим по двум точкам:

67

Дополнительно вычислим значения реакций при положе­ ниях силы:

в) на конце правой консоли при x = l+lk2;

RA = - lk 2^ ; RB = (l +lk 2 Vl .

Линии влияния опорных реакций, построенные согласно полу­ ченным зависимостям, представлены на рис. 3.2,б,в.

Построим линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении К.

Усилия в сечении К могут быть найдены из рассмотрения равно­ весия левой либо правой части балки относительно сечения К. При этом для получения более простых зависимостей следует рассмат­ ривать ту часть балки, на которой нет подвижной силы.

При движении силы слева от сечения К изгибающий момент Мк

С учетом (3.1) это выражение приводит к линейной зависимости

справедливой для левой части балки, на которой находится единич­ ная сила.

Из (3.3) следует, что левая прямая линии влияния М к может быть построена умножением всех ординат линии влияния R B на величину b:

л.в М к = (л.в. R b ) b.

68

Аналогично, при движении силы справа от сечения К, рассмот­ рев левую часть балки, будем иметь:

Мк = Ra а или л.в. М к = (л.в. Ra ) а.

То есть правую прямую линии влияния МК можно построить, увеличив ординаты л.в. Ra в а раз (рис. 3.2,г).

Полученные прямые (левая и правая ветви линии влияния Мк) пересекаются под сечением К. Линия влияния поперечной силы в сечении К строится аналогично. При движении силы слева от сече­ ния получим (левая прямая):

QK = - R B то есть л.в. Qk = -(л.в. Rb ).

При движении силы справа от сечения из уравнения равновесия левой части будем иметь (правая прямая):

QK = Ra то есть л.в. QK= л.в. Ra.

Построенная линия влияния QK показана на рис. 3.2,д. Под сече­ нием К она имеет разрыв на единицу (а / l+b / 1 = 1). На рис. 3.2,е,ж показаны линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении Кь бесконечно близком к опоре В.

Линии влияния усилий в сечениях на консолях двухопорной балки (рис. 3.2,з,и) строятся так же, как и в сечениях консольной балки (рис. 3.1,г,д).

Заметим, что линии влияния усилий в балках, а также и в других статически определимых системах, имеют линейное или кусочно­ линейное очертание.

Рассмотрим построение линий влияния усилий в многопролет­ ных статически определимых балках, которые представляют собой совокупность простых балок, соединенных между собой по концам шарнирами, как правило, не совпадающими с опорами. Если про­ стые балки, входящие в состав многопролетной, не будут связаны между собой шарнирами, то некоторые из них смогут самостоя­ тельно воспринимать действующую на них нагрузку (их называют

69