Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

чении k (рис. 2.5,а) можно представить при помощи связей первого вида. При определенном расположении связей в сечении усилие в какой-то одной связи (реакция связи) будет равно соответствующей

внутренней силе, то есть N : , Q: или M :.

На рис. 2.6,а-в показаны возможные варианты расположения связей в сечении k и обозначены усилия в тех из них, с помощью которых находятся внутренние силы.

Рис. 2.6

51

нях не должно быть более трех, так как для каждой части системы можно составить только три независимых уравнения равновесия. Ес­ ли число неизвестных больше трех, то необходимо провести дополни­ тельное сечение, с помощью которого можно составить другие урав­ нения, включающие те же неизвестные или некоторые из них. Реше­ ние системы уравнений, объединяющей условия равновесия отделенных частей конструкции по двум (в общем случае их число может быть большим) сечениям, позволит найти значения искомых усилий. Такой способ определения усилий называют способом совме­ стных сечений.

Чтобы определить усилия в стержнях 4-10 и 10-17 полураскосной фермы (рис. 2.8,а), проведем сечение 1-1 и для левой части фермы (рис. 2.8,б) составим уравнение равновесия:

X Y (леВ = VA - F - N 10-4 sin в + N 10-17 sin а = 0.

Вторым сечением 2-2 вырежем узел 10 (рис. 2.8,в). Составим уравнение проекций сил на горизонтальную ось:

X X = N 10-4 COs e + N 10-17 co sa = 0 .

а) 1

Рис. 2.8

53

Совместное решение полученных уравнений позволит найти

усилия N w_4 и N 10_17 .

Для определения усилия в стержне 9-3 консольной фермы (рис. 2.9,а) вырежем сечением 1-1 узел 9 (рис. 2.9,б) и составим уравнение проекций на ось Y :

X Y = - N 9 - з - N 9- ю sin a = 0.

Проведем сечение 2-2. Из уравнения равновесия сил, действую­ щих на правую часть фермы (рис. 2.9,в), определим усилие N 9_ю:

X M 3 = F (d + 2d + 3d) - N 9- 10 h c o sa = 0

Рис. 2.9

Зная N 9-W , из первого уравнения найдем N 9- 3.

Разновидностью статического метода определения усилий явля­ ется и способ членения исследуемой системы на множество отдель­ ных фрагментов. Составляя для каждого из них уравнения равновесия с учетом, естественно, внутренних сил (они являются неизвестными)

54

в сечениях, разделяющих фрагменты, получим для статически оп­ ределимой системы полную систему уравнений, решение которой дает значения неизвестных.

Разобьем, например, раму (рис. 2.10,а) на три фрагмента, пока­ занные на рис. 2.10,б. Общее число неизвестных равно девяти: че­ тыре опорные реакции, три неизвестные в сечении D и две в сече­ нии C . Для каждого из трех фрагментов (дисков) можно составить три независимых уравнения в любой из ранее перечисленных форм. Решение совместной системы линейных уравнений 9-го порядка позволит найти все неизвестные.

Дальнейшее расширение этого способа вычисления усилий свя­ зано с членением заданной системы на отдельные элементы и узлы. Об этом читайте в главе 15.

а) б)

Рис. 2.10

2.3. Метод замены связей

Рассмотрим применение этого метода к расчету фермы, пока­ занной на рис. 2.11,а. Ферма является статически определимой. Ее структура может быть представлена в виде трех дисков (треуголь­ ники 3- 5-6, 4-6-7 и стержень 1-2), попарно соединенных двумя связями. Поскольку точки пересечения стержней 1-3 и 2-5, 2-4 и 1-7 и узел 6 (полюсы взаимного вращения дисков) не лежат на од­ ной прямой, то ферма не является мгновенно изменяемой.

Ферму невозможно рассчитать способом вырезания узлов без решения системы уравнений равновесия всех узлов. Невозможно

55

также применить и способ простых сечений, так как не найдется сечение, разделяющее систему на две части, при котором бы число неизвестных усилий было не более трех.

6 ,0 м_______________J ,_______________6 ,0 м

56

Суть метода замены связей состоит в том, что одна из связей заданной системы удаляется, а ее действие заменяется неизвестной силой X . Что­ бы система оставалась геометрически неизменяемой, в нее вводится дру­ гая связь. При удачном расположении этой связи новая система (ее назы­ вают заменяющей) получается более простой для расчета. Статическая эквивалентность заданной и заменяющей систем будет наблюдаться то­ гда, когда X станет равным истинному усилию в выбранном стержне. В этом случае во введенной дополнительной связи реакция окажется равной нулю. Равенство нулю усилия в дополнительной связи является условием для записиуравнения, из которого определяется усилие X .

Обратимся к примеру. В заданной ферме (рис. 2.11,а) выбросим стержень 1-2 (связь первого вида), а его действие на узлы 1 и 2 за­ меним силами X 1 . Дополнительную связь (опорную) введем в шес­ той узел. Полученная такими преобразованиями заменяющая сис­ тема приведена на рис. 2.11,б. Усилия в ее стержнях легко опреде­ ляются по способу вырезания узлов.

Выполняя ее расчет, воспользуемся принципом независимости дей­ ствия сил. Найдем вначале усилия в стержнях при нагружении систе­ мы заданной внешней нагрузкой (рис. 2.11,в). Будем их обозначать

N - k F . Усилие в дополнительной опорной связи - R F (индекс 1

означает номер дополнительной связи, индекс F указывает на причи­ ну, вызвавшую усилие). Для принятых на рис. 2.11,а размеров полу­ чим R F = 0,4023F .

Рассчитаем заменяющую систему на действие X 1 = 1 (рис. 2.11,г). Усилия в стержнях будем обозначать N i-k 1. Усилие в дополни­

тельной связи - Гц (первый индекс, как и ранее, - номер дополни­

тельной связи; второй указывает на причину, вызвавшую усилие). В рассматриваемом случае Гц = 0,1380.

Так как реакция дополнительной опоры равна нулю, то можно

R1F

из которого найдем X 1 = --------= -2,915F .

Г11

57

Если бы оказалось, что Гц = 0, то это было бы признаком того, что заданная ферма является мгновенно изменяемой.

Последующий расчет фермы можно выполнить способом выре­ зания узлов, или, если известны все N t- к р , N t- ^ \, усилия в стержнях заданной фермы можно вычислить по формуле:

N i- к = N i- к,F + N i- к,1X 1.

Рассмотрим еще один пример. Многопролетная балка (рис. 2.12,а) легко рассчитывается по способу простых сечений. Однако чтобы лучше понять суть метода замены связей, покажем ее расчет и этим методом.

Удалим в заданной балке опорные связи в точках B и D . Дей­ ствие их на балку заменим силами X i и X 2 . Введем дополнитель­ ные связи в точках A и C , то есть закроем шарниры. Полученная этими преобразованиями заменяющая система показана на рис. 2.12,б или, в более привычной форме изображения, на рис. 2.12,в.

Построим эпюры изгибающих моментов в заменяющей балке от нагружения ее заданной нагрузкой (рис. 2.12,г), единичной силой X i (рис. 2.12,д) и единичной силой X 2 (рис. 2.12,е). Значения моментов в дополнительных связях от этих нагрузок показаны на рисунках.

a)

10 к И /м 2 ,0 к H

2

Рис. 2.12

58

Продолжение рис. 2.12

Из условий статической эквивалентности заданной и заменяющей балок следует, что усилия (моменты) в первой и второй дополнитель­ ных связях должны быть равны нулю. Определяя их по принципу неза­ висимости действия сил, получим следующую систему уравнений:

Г11X 1 + Г12X 2 + R1F = 0; I

(2.2)

Г21X 1 + Г22X 2 + R2F = 0.J

Запишем уравнения в численном виде:

4X 1 + 9X 2 - 80 = 0;1

4X 2 - 10 = 0. J

59

Решая их, найдем X 1 = 2,5 кН, X 2 = 2,5 кН.

Эпюру моментов для заданной балки построим по выражению

= M р + 1X 1 + 2X 2 .

Она показана на рис. 2.12,ж.

Понятно, что в общем случае число удаляемых и дополнитель­ ных связей может быть большим.

Запишем систему уравнений (2.2) в матричной форме:

Решение системы (2.3), записываемое в виде:

возможно лишь в том случае, когда определитель матрицы L не равен нулю:

Det L ф 0.

Значит, равенство нулю определителя:

Det L = 0,

служит признаком мгновенной изменяемости заданной системы.

2.4. Кинематический метод

Кинематический метод основан на использовании принципа возможных перемещений, который позволяет получить необходи­ мые условия равновесия системы.

Возможными перемещениями системы называют любую сово­ купность бесконечно малых перемещений точек системы, допус­ каемых ее связями. Возможные перемещения, в отличие от дейст­ вительных, не зависят от заданных внешних воздействий. Они оп­ ределяются только типом самой системы и видом наложенных на систему связей, это чисто геометрические понятия.

60