Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Температура на оси, проходящей через центр тяжести сечения,

Переход элемента под воздействием температуры в новое поло­ жение (показано штриховой линией) представим как результат уд­ линения всех волокон на d st = s dx = a t dx и затем поворота каж­

дой боковой грани относительно оси, проходящей через центр тя-

dq>t

жести сечения, на угол ----- . 2

Удлинение нижнего волокна равно a t1 d x , а верхнего - a t2 d x , ( a - коэффициент линейного расширения). Тогда, вследствие ма­

где t' =t1—12 - перепад температур.

Так как температурные деформации не вызывают сдвига сече­ ний, то, подставляя d st и dq>t в общую формулу (7.6) для опреде­

ления перемещений и заменяя в обозначении Aia индекс а на t (ука­ зывает от чего возникает перемещение), получим:

Заметим, что каждый из интегралов в этом выражении определя­ ет работу внутренних сил вспомогательного состояния системы на перемещениях, вызываемых изменением температуры. Поэтому на участке интегрирования значения интегралов принимаются поло­ жительными в том случае, когда совпадают соответствующие на­ правления деформаций стержня, вызываемые усилиями i -го (вспо­ могательного) состояния и тепловым воздействием.

211

Если на отдельных участках стержней a, t, t' и h остаются неизменными, то выражение (7.11) преобразуется к виду:

где Q N —j Ni d x , Qm —JM t dx - площади эпюр продольных

П р и м е р. Определить горизонтальное перемещение точки B рамы (рис. 7.28,а) от указанного на схеме теплового воздействия. Неизменные по длине каждого из стержней поперечные сечения при­ нять симметричными. Высота сечения вертикального стержня равна h1, горизонтального h2 .

212

На рис. 7.28,б показано вспомогательное состояние рамы, а на

7.9. Определение перемещений, вызываемых перемещениями опор

Предположим, что опорные связи заданной статически опреде­ лимой системы (рис. 7.29,а) под влияниями каких-то воздействий переместились в положения, показанные на рис. 7.29,а: защемление повернулось по часовой стрелке на угол с , а шарнирно-подвижная

опора сместилась вверх на с2 . Обозначим это состояние системы как состояние с. Для определения перемещения какой-нибудь точ­ ки, например горизонтального перемещения узла D , во вспомога­ тельном состоянии по направлению искомого перемещения прило­ жим силу Fj = 1 (рис. 7.29,б).

213

Определим работу сил i -го состояния системы на перемещениях ее в состоянии с . В состоянии с внутренние силы отсутствуют: переме­ щения опор статически определимой системы не вызывают усилий в ее элементах. Поэтому на перемещениях состояния с совершат работу только внешние силы, к которым относятся и опорные реакции. В соот­ ветствии с принципом возможных перемещений получим:

1-Aic + X Rki ск = ^

где Rki - реакция в связи с номером к от Fi = 1;

Ск - заданное смещение связи к .

Отсюда следует, что

Знак произведения Rki Ck принимается положительным, если

направления R ^ и Ck совпадают.

Для рассматриваемого примера получим:

AD” = A,с = - X RkiCk = - ( - 2 С1 - h С2j = h ( | + Cc f j .

В заключение отметим, что если заданная линейно деформируе­ мая система испытывает одновременно несколько воздействий (внешняя нагрузка, изменение температуры, смещение опорных или других связей), то искомое перемещение определяется суммирова­ нием составляющих от каждого воздействия в отдельности.

Особенности определения перемещений в статически неопреде­ лимых системах будут изложены в дальнейшем.

7.10. Матричная форма определения перемещений

Рассмотрим вначале этот вопрос применительно к плоским фер­ мам. В практических задачах расчета их на заданные воздействия важ­ но уметь определять перемещения каждого узла по горизонтальному и вертикальному направлениям. Общее число неизвестных переме­

214

щений при таком подходе будет равно числу степеней свободы уз­ лов m = 2 У - Cq (перемещения закрепленных узлов по направле­

ниям опорных связей отсутствуют). На рис. 7.30,а неизвестные пе­ ремещения узлов показаны стрелками.

Рис. 7.30

Для определения перемещения Ai примем вспомогательное состоя­ ние таким, как показано на рис.7.30,б: по направлению искомого пере­ мещения приложена сила Fi = 1. На этом рисунке около каждого стержня фермы показано обозначение возникающего в нем усилия N ki ,

где индекс k соответствует номеру стержня. Индекс n соответству­ ет номеру последнего стержня фермы.

Из формулы (7.6) следует, что

0

где Nki - усилие в k -м стержне от Fi = 1;

AIk - абсолютная деформация k -го стержня фермы.

Развернутая запись последнего выражения применительно ко всем вычисляемым перемещениям представится так:

A1 = N 11 A|1 + N 21 a |2 + ... + N n1 Aln >

A2 = N 12 AI1 + N 22 Al2 + • • • + N n2 Aln >

A m N 1m AI1 + N 2m Al2 + • • • + N nm Aln

215

Подставляя выражение (7.15) в формулу (7.14), получим матрич­ ную запись формулы для определения узловых перемещений фер­

Для определения перемещений изгибаемых систем от нагрузки F воспользуемся формулой Симпсона. На k -м участке стержня с пе­ ременной изгибной жесткостью интеграл Мора запишется в виде:

217

Представим это выражение в матричной форме записи:

lk M F 6EJк

—Lki D k M kF ,

где Dk - диагональная матрица податливости k -го участка.

и тогда при E J — const вычисления на участке сведутся к следую­ щему:

Суммируя результаты вычислений по всем участкам, получим:

Используя последовательную стыковку векторов изгибающих моментов на всех n участках системы и введя в расчет матрицу податливости D всей системы, вычисление перемещений можно представить и так:

218

Если необходимо определить перемещения нескольких точек

T T

системы, то следует вектор-строку Lt заменить на матрицу L , в

каждой строке которой будут записаны значения изгибающих мо­ ментов, вызываемых -м вспомогательным состоянием.

Если ставится задача определения перемещений, вызываемых различными загружениями, то необходимо вектор M F заменить на матрицу, в каждом столбце которой записываются значения усилий, соответствующие определенному загружению.

С учетом этих замечаний выражение для определения перемеще­ ний изгибаемой системы в общем случае может быть записано в виде:

В этом выражении индекс m соответствует числу определяемых пере­ мещенийдля одногозагружения, индекс t - числу независимыхзагружений.

Если M = L , то матрица A будет представлять собой матрицу внешней податливости А изгибаемой стержневой системы:

A = LM D LM ■

Это же замечание относится и к формуле (7.16). Заменив вектор

N p на матрицу N = LN , получим в результате вычислений матри­

цу податливости фермы:

7.11. Линии влияния перемещений

Теорема о взаимности перемещений используется при решении различных задач механики. В частности, с ее помощью относительно легко получаются линии влияния перемещений. Пусть, например, не­

обходимо построить линию влияния угла поворота mk (рис. 7.31,а).

Каждому новому положению единичной силы (рис. 7.31,б) соответ­

ствует определенное значение угла поворота ( ^ ,&к2, . ). В то же

время, на основании теоремы о взаимности эти перемещения можно определить каждый раз от загружения балки неподвижной обоб­ щенной силой М к = 1 (рис. 7.31,в). Следовательно, очертание ли­

ний влияния mk совпадает с эпюрой вертикальных перемещений

оси балки, вызванных силой М к = 1 . Соответствующее этому за-

гружению уравнение изогнутой оси балки записано в разделе 7.5.

Рис. 7.31

220