Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Анализ результатов последнего примера (рис. 7.31) показывает, что практическая задача построения линий влияния перемещений линейно деформируемой системы может быть связана или с расче­ том ее на множество единичных загружений в характерных сечени­ ях и последующим определением для каждого из них искомого пе­ ремещения или с расчетом заданной системы на одно загружение и определением соответствующих перемещений в тех сечениях, в ко­ торых по известным перемещениям можно представить правильный вид линии влияния. Второй вариант решения является, как правило, более предпочтительным. Проиллюстрируем сказанное еще раз на примере многопролетной статически определимой балки (рис. 7.32), для которой построим линию влияния S3 . Из расчета балки на загру-

жение силой F1 = 1 можно найти только одну ординату линии влия­ ния S3- S 31 (рис. 7.32,б), из расчета на действие p = 1- S 32 и т. д. Более простой является техника построения линии влияния S3 как эпюры вертикальных перемещений оси балки от действия F3 =1

(рис. 7.32,в). На рис. 7.32,г показан вид л.вл. S3 с учетом общеприня­ тых правил построения: положительные ординаты л.вл. S3 распола­ гаются выше оси балки, отрицательные - ниже.

221

7.12. Матрица влияния перемещений

Вертикальное перемещение сечения i , для которого построена линия влияния перемещения, от действия на балку заданной на­ грузки можно вычислить по формуле:

Aip = 5ц Fi + Si2 F2 +... + S,„ Fn ,

i2 r 2

где F j, F2 , ... ,Fn - сосредоточенные вертикальные силы, при­ ложенные в характерных сечениях.

При значении индекса i = 3 получим выражение для определения A3F с помощью линии влияния S3 (рис. 7.32,г).

Применяя выражение для A p к каждому характерному сечению и используя матричную форму записи преобразований, получим значение вектора перемещений Ap :

Компонентами i -го столбца являются значения ординат эпюр перемещений, построенных от Fi = i , что соответствует общему оп­ ределению матриц влияния. В силу выполнения условия Sik = S^

матрица A является симметрической матрицей и, значит, по эле­ ментам i -го столбца или i -й строки можно построить линии влияния Si .

222

В случае систем произвольного очертания, не обязательно ба­ лочных, перемещения 8 ^ могут иметь различную ориентацию в пространстве. Они определяют податливость системы в некоторой точке i по заданному ( i -му) направлению от единичной силы, приложенной в точке к . Поэтому матрицу A называют матрицей податливости системы. Для ее вычисления можно использовать формулы (7.20) и (7.21).

П р и м е р . Вычислить матрицу внешней податливости A рамы по заданным направлениям (рис. 7.33).

^ 3-е напр-е

и а п п . о

4

Рис. 7.33

Эпюры изгибающих моментов от действия единичных сил по за­ данным направлениям показаны на рис. 7.34.

Рис. 7.34

При составлении матрицы влияния LM будем считать ординаты эпюр M , расположенные внутри контура рамы, положительными.

223

Вычисляем матрицу податливости A

4 • 4

6 EJ

4

6 E J

5

6 • 2 E J

4 • 5

224

Г Л А В А 8

МЕТО Д СИ Л И ЕГО П РИ М ЕН ЕН И Е

КРА С ЧЕТУ П ЛО СКИ Х РАМ

8.1.Статически неопределимые системы и их свойства

Статически неопределимыми системами называют такие систе­ мы, у которых не все внутренние силы могут быть найдены из уравнений равновесия твердого тела или системы твердых тел.

В статически неопределимых системах число неизвестных уси­ лий превышает число возможных (независимых) уравнений равно­ весия. Например, для определения четырех опорных реакций балки (рис. 8.1,а), возникающих от действия на нее любой нагрузки, мож­ но составить только три независимых уравнения равновесия.

Следовательно, во всех сечениях балки на участке A C усилия определить невозможно. Если в этой балке удалить опорный стержень в точке B или ввести в некотором сечении шарнир на участке B C , то получим расчетные схемы статически определимых балок, по­ казанные на рис. 8.1,а,б. Связи, которые можно удалить в балке (а в общем случае, в любой системе), не нарушая ее свойства гео­ метрической неизменяемости и неподвижности, называют лишни­ ми. Количество лишних связей, устранение которых обращает сис­ тему в статически определимую, называют степенью статической неопределимости системы. Балка, изображенная на рис. 8.1,а, явля­ ется один раз статически неопределимой.

Рис. 8.1

225

То же можно сказать и о расчетной схеме фермы (рис. 8.2). От на­ грузки, приложенной к ее узлам, можно с помощью уравнений рав­ новесия найти опорные реакции и усилия в стержнях 3-5 и 4-5, но усилия в остальных стержнях останутся неизвестными. Среди этих стержней имеется один лишний, поэтому ферма является один раз статически неопределимой.

Рис. 8.2

Еще раз отметим, что термин ”лишняя связь“ нужно понимать с точки зрения геометрической неизменяемости и неподвижности системы. По условиям же работы конструкции эти связи необходи­ мы, при их отсутствии прочность и жесткость конструкции могут оказаться недостаточными.

В качестве лишней может быть принята любая связь, устранение которой не повлияет на неизменяемость и неподвижность системы. Так, для схемы на рис. 8.1 за лишнюю связь можно принять любой вертикальный опорный стержень или, в любом сечении на участке A C , связь, через которую передается изгибающий момент с одного

участка балки на другой.

Степень статической неопределимости сооружения является важ­ ной характеристикой сооружения.

Статически неопределимые системы обладают следующими свойствами.

1. Тепловое воздействие на систему, смещение опор или неточ­ ность изготовления ее элементов с последующим натяжением их во время сборки вызывают, в общем случае, в статически неопредели­ мой системе дополнительные усилия. В статически определимой системе эти факторы вызывают только перемещения сечений, уси­ лий же при этом не возникает.

Приведем некоторые примеры.

226

количественные соотношения между числом степеней свободы дисков и числом связей, наложенных на них, следует, что число лиш­ них связей (Л) будет равно Л = —W , то есть вычисляется по формуле:

Как и при определении W , обе формулы можно использовать в том случае, когда ни один из дисков системы не представляется в виде замкнутого контура.

Если контур рамы замкнутый, то при использовании формулы (8.1) его нужно разбить на несколько незамкнутых.

Замкнутый бесшарнирный контур является трижды статически неопределимым. Действительно, чтобы раму в виде замкнутого контура (рис. 8.6,а) превратить в статически определимую, напри­ мер, показанную на рис. 8.6,б, необходимо удалить три связи в се­ чении к (через эти связи осуществляется передача внутренних сил с одного конца стержня на другой).

Рис. 8.6

Если в сечении к удалить связь, через которую передается изги­ бающий момент с одной части стержня на другую, т.е. поставить шар­ нир, то получим дважды статически неопределимую раму (рис. 8.6,в).

Таким образом, степень статической неопределимости рамы мо­ жет быть определена по формуле:

229

где K - число замкнутых контуров в раме; Ш - число простых шарниров.

Заметим, что и рама, показанная на рис. 8.7, также представляет собой замкнутый бесшарнирный контур. Основание, к которому рама прикрепляется в точках A и B , в этом случае рассматривает­ ся как диск, соединяющий эти точки.

Приведем некоторые примеры. Определим степень статической неопределимости для рамы, изображенной на рис. 8.8.

По формуле (8.2) получим:

Л = С0 + 2Ш - 3Д = 9 + 2 • 2 - 3 • 3 = 4.

По формуле (8.3):

Л = 3K - Ш = 3 • 2 - 2 = 4.

Замкнутые контуры показаны на рис. 8.8 волнистой линией.

При использовании формулы (8.1) для рамы, изображенной на рис. 8.9, учтем, что жестко соединяются между собой диски 1 и 2, а также 2 и 3.

230