8. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

5.

Пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось

вращения, вычисляем скорость точки и ее нормальное ускорение.

6.

Пользуясь выражением проекции углового ускорения на ось

вращения, определяем касательное ускорение точки.

7.

Используя найденные нормальное и касательное ускорения,

находим полное ускорение точки по величине и направлению.

С

Второй тип задач – задано угловое ускорение или угловая скорость

твердого тела; требуется найти уравнение вращательного движения,

скорость

ускорен е точки твердого тела.

В этом случае алгор тм решения задач следующий:

скорости

уравнение,

определяющее

1.

Интегр руя

дифференциальное

проекц ю углового ускорения на ось вращения, находим проекцию

угловой

, про звольную постоянную интегрирования определяем

по начальным данным.

2.

Интегр руя

дифференциальное

уравнение,

определяющее

проекц ю

угловой

на ось вращения, находим

уравнение

вращательного дв жен я твердого тела,

произвольную

постоянную

интегр рованбя определяем по начальным данным.

ω =

2πn

= πn .

60

30

3. Записать уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси.

С

Угол φ называют углом поворота тела (угловой координатой).

Положение вращающегося тела в момент времени t задают

уравнен ем

φ = f

(t),

где f (t) – любая дважды дифференцируемая функция времени.

Это уравнен

е называют уравнением вращения твёрдого тела вокруг

неподв жной

.

4. Назов те главные кинематические характеристики вращательного

движен я.

б

Для характер ст ки вращательного движения твёрдого тела вокруг

неподвосижной спользуют понятия: угловая скорость и угловое

ускорение.

7. Как определяется скорость точки вращающегося тела?

Вектор вращательной скорости V направлен

перпендикулярно радиусу в сторону вращения.

И

С

ε =

dt

= ω= ϕ.

dω

9. Какое вращение называется равномерным?

Если во всё время движения ω

= const ( ε =

0), то

вращение

называется равномерным.

сли

10. Какое вращен е называется равнопеременным?

ε=const,

Вращен е тела, при котором угловое ускорение постоянно

называют равнопеременным вращением.

11. Какое вращен е называется равноускоренным и равнозамедленным?

Е

абсолютная

скорости

увеличивается,

величина

угловой

вращен е называют равноускоренным, а если уменьшается −

равнозамедленным:

εt2

ω= ω0 ± εt ;

ϕ = ϕ0

+ ω0t ±

.

скорости V

2

12. Как определяется вектор

при

помощи формулы Эйлера?

Вращательная

скорость

точки

равна

векторному произведению вектора

угловой

скорости тела на радиус-вектор этой точки

относительно оси вращенияА:

V

= ω×r ,

где r – радиус-вектор точки М,

проведённый из

И

произвольной точки оси вращения Oz, например

точки О.

Д

остояние

движения

вращающегося

твёрдого тела в данный момент характеризуется

вектором ω,

направленным по оси вращения в ту

сторону, откуда вращение представляется

происходящ м прот в часовой стрелки.

Угловое ускорен е вращающегося твёрдого

С

тела можно

зобраз ть в виде вектора ε =

ω,

направленного вдоль оси вращения. При этом

направлен е

ε

совпадает с направлением

ω,

когда тело вращается ускоренно (рис. а), и

противоположно ω, когда вращение является

а

б

замедленным (р с. ).

17. Как определяются

проекции скорости точки на оси координат по

А

формулам Эйлера, если осью вращения является ось z ?

V = −ωy ;

V = ωx ; V

z

= 0,

бx y

где x, y – координаты точки.

18. Как определяется величина полного ускорения точки вращающегося

твёрдого тела?

Д

Модуль

полного

ускорения

точки

определяется по формуле

a =

aτ2 + an2

= r

ε2 + ω4

.

Направление определяется углом α,

составленным полным ускорением a с

радиусом окружности, тангенс которого

tgα =

aτ

=

ε

.

an

ω2

Угол α для всех точек тела является постоянным, т. к. не зависит от

радиуса вращения.

И

19. Как определяется величина полного ускорения точки вращающегося

твёрдого тела при равномерном вращении?

При равномерном вращении ω = const ( ε = 0): a = an и a = ω2h .

В этом

случае ускорение

an

направлено по

радиусу к

центру

21. Как определяются вектор нормального ускорения an ?

С

Нормальное ускорение точки вращающегося твёрдого тела равно

векторному произведению вектора угловой скорости тела на

вращательную скорость этой точки:

an

= ω×V

= ω×(ω×r ) .

оси

22. Как выч сляются проекции ускорения точки тела, вращающегося

вокруг

z?

Проекц ускорен я точки тела

б

ax = −εy

−ω2 x ;

ay = εx −ω2 y ; az = 0.

Совокупность двух вращений тела, направленных в противоположные

стороны

А

меющ х равные модули угловых скоростей, называют парой

Вектор

V

направлен перпендикулярно плоскости пары угловых

скоростей ω1

и ω2 .

Д

тремя углами Эйлера: ψ = f1(t);

θ = f2 (t); ϕ = f3(t),

где ψ − угол прецессии, θ

− угол нутации, ϕ − угол собственного

углового ускорен

я ε, называется осью углового ускорения.

27. Как е модули

направления имеют составляющие ускорения точки

тела при

дв жении?

Ускорен

любой

точки

тела

при

С

определяется как

дв жен

геометр ческая сумма её вращательного и

осестрем

тельного ускорений:

a = aвр + aoc .

сферическом

Вектор

вращательного ускорения

aвр = ε×r

направлен

перпендикулярно

плоскости, проходящей через ε

и r в ту

сторону,

откуда

поворот

ε

к

r

на

б

наименьший

угол

виден

проходящим

против часовой стрелки.

Модуль вращательного ускорения

a

вр

=

ε×r

= εr sin(ε;r ) = h ε,

ε

А

где hε – кратчайшее расстояние от точки тела до линии, по которой

направлено угловое ускорение ε,

вектор углового ускорения ε

расположен в неподвижной точке. Вектор осестремительного ускорения

a направлен

перпендикулярно

к

мгновенной оси вращения. Модуль

oc

Д

осестремительного ускорения

=

а

ос

ω×V

= ωV sin(ω,V )= ωV = h ω2 .

Ω

В общем

случае

вращательное

и осестремительное ускорения не

перпендикулярны; следовательно, модуль ускоренияИa вычисляют как

диагональ параллелограмма по формуле

.

a =

aвр2

+aос2 +2aврaос cos(aвр, аос)

твёрдого тела определяется шестью уравнениями:

x0 = f1(t); y0 = f2 (t);

z0 = f3 (t); ψ = f4 (t);

θ = f5 (t); ϕ = f6 (t).

Поступательная часть движения зависит от выбора полюса,

сферическая часть от выбора полюса не зависит.

29. Что называют мгновенной осью вращения твёрдого тела с одной

неподв жной

точкой

каковы уравнения мгновенной оси вращения в

неподв жной

подв жной системах осей декартовых координат?

и

Мгновенная

ось

представляет собой

Сгеометр ческое место точек тела, скорости

которых в данный момент равны нулю.

Уравнен я

мгновенной

оси

в

б

неподв жной с стеме осей

ωy z −ωz y = 0 ; ωz x −ωx z = 0 ; ωx y −ωy x = 0 .

Или эти уравнен я можно представить в виде

x

=

y

=

z

,

ω

А

x

y

z

где x , y , z – координаты точек мгновенной оси.

30. Как определяются скорости точек тела при сферическом движении?

Скорость

любой

точки тела

можно

определить

как скорость во

вращательном движении вокруг мгновенной оси: V = ω×r ,

где r – радиус-вектор точки, проведённый из неподвижной точки.

Модуль скорости

И

V = ωr sin(ω,r )= ωh ,

где h – кратчайшее расстояние от

рассматриваемой точки до мгновеннойДоси.

Проекции скорости точки на неподвижные

оси декартовых координат определяются по

формулам Эйлера: