14. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1.

Изобразить твёрдое тело, движение которого рассматривается, в

текущем положении.

С

2.

Выбрать и изобразить три системы координат: одну неподвижную и

две подвижные (одну движущуюся поступательно и вторую жёстко

связанную с твёрдым телом) с началами в центре масс твёрдого тела.

3.

Изобраз ть на расчётной схеме все внешние силы, приложенные к

добавить

твёрдому телу.

4.

остав ть д фференциальные уравнения движения твёрдого тела и

к н м уравнен я связей.

5.

Если это нео ходимо, проинтегрировать дифференциальные

Задачи по при лижённой теории гироскопов можно разбить на два

типа:

б

Задачи

первого

типа

рекомендуется

решать

в

такой

последовательности:

Д

1. Изобразить на рисунке векторы угловой скорости собственного

вращения гироскопа и главного момента количеств движения.

2. Определить и изобразить на рисунке вектор угловой скорости

прецессии оси гироскопа.

3. Найти гироскопический момент (главный момент внешних сил).

4. Определить направления и модули гироскопических давлений на

С

опоры (гироскопических реакций опор).

14.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов

точки

1. Что называют моментом инерции материальной точки и системы

материальных точек относ тельно плоскости?

Момент

нерц

материальной

точки

относ тельно плоскости есть произведение

массы

на

квадрат

расстояния

до

плоскости.

б

Для

M k

JOyz = mk xk2 ; JOxz = mk yk2 ;

JOxy = mk zk2 .

Для с стемы точек

y2 ; J

J

Oyz

= ∑m

k

x2

; J

Oxz

= ∑m

k

Oxy

= ∑m

k

z2 .

k

k

k

оси?

2. Что называют моментом инерции материальной точки относительно

Момент инерции точки относительно оси есть произведение массы

точки на квадрат расстоянияАот точки до оси.

Согласно определению получим для точки M k

J

x

= m

k

h2

; J

y

= m

h2 ;

J

z

= m

k

h2 ;

kx

k ky

kz

для системы точек J

=

n

m

2

n

2

n

2

.

∑

x

hД; J = ∑ m h ; J = ∑ m h

k = 1

k kx

y

k = 1

k ky

z

k

= 1

k kz

Учитывая, что h2

= z

2

+ y2

;

h2

= x2

+ z

2 ;

h

2

= x2

+ y2 ,

kx

k

k

ky

k

k

kz

k

k

можно записать

n

2

2

n

2

2

n

J x

=

И2 2

= ∑ mk (yk

+ zk ); J y

∑ mk (xk + zk );

J z

=

∑

mk

(xk

+ yk ) .

k = 1

k = 1

k = 1

J

=

п

r2

=

п

(x2 + y

2

+ z2 ) .

o

∑m

∑m

k

k=1

k k

k =1

k

k

k

Полярный момент инерции тела равен половине суммы моментов

инерции тела относительно осей координат.

С

2Jo = J x + J y + J z .

Для сплошных твердых тел уравнение можно заменить интегралом

Jo = ∫(x2 + y2 + z2 )dm .

Центробежнымимоментами инерции называют величины J xy , J yz ,

4. Что называют моментом инерции твердого тела относительно

плоскости, оси точки?

Моментом

нерц

твердого тела относительно плоскости называют

скалярную вел ч ну, равную сумме произведений массы каждой точки

тела на квадрат расстоян

я от этой точки до плоскости.

б

5. Дайте определен

центро ежным моментам инерции?

J zx , определяемые равенствами

А

J xy = ∑mk xk yk ;

J yz = ∑mk yk zk ;

J zx

= ∑mk zk xk ,

где mk – массы точек;

xk , yk , zk – их координаты.

6. Как вычисляются осевые моменты инерции однородного круглого диска?

Имеем

тонкий

Д

однородный

диск

радиусом R и массой m. Вычислим его

момент инерции Jo

относительно точки O.

Этот момент инерции для тонкого диска

совпадает с моментом инерции Jх

относительно координатной оси Оx,

перпендикулярной

плоскости

диска.

Разобьем диск на концентрические полоски

шириной dr, принимаемые в пределе за

материальные окружности.

Масса полоски равна ее площади 2πrdr ,

умноженной на удельную

плотность

ρ =

m

,

т.е.

dm =ρ 2πrdr .

МоментИодной полоски

πR2

относительно точки О равен r2dm . Для всего диска

Jo =

m

R

4

= mR

2

∫r2dm

=ρ 2π

∫r3dr =ρ 2π R

.

o

o

4

2

Jx = Jo =

mR2

.

2

Для осей координат Oz и Oy, расположенных в плоскости диска, в

силу симметрии J z = J y . Тогда

J z = J y =

J

o

=

mR

2

.

С

2

4

7. Как вычисляются осевые моменты

инерции тонкого кольца?

В случае тонкого кольца, имеющего

форму ц л ндра с малой толщиной стенки

цилиндра, масса которого m, радиус R и

δ → 0 , масса

матер

ала распределена

по

ободу ц л ндр

ческого кольца, имеем

J x = Jo = mR2 ;

J y = J z = 1 mR2 .

2

8. Как выч сляются осевые моменты инерции цилиндра?

Для

круглого однородного

прямого

длина l ,

выч сл м

сначала его

момент

инерции

относ тельно продольной оси

А

симметрии Oz. Для этого разо ьем цилиндр

плоскостямиб, перпендикулярными оси Oz,

на тонкие диски массой dm и толщиной dz.

R2

Д2

dm.

Для такого диска момент инерции относительно

оси Oz равен

2

Расчетная

схема показывает, что

масса

всего

цилиндра образуется из

Имеем

тонкий

однородный

стержень длиной l и массой m.

Направим по стержню ось Ox.

Вычислим

момент

инерции

стержня

относительно оси Oz, проходящей

перпендикулярно

стержню

через

его

торец.

огласно определению момента

инерции сплошного

тела относительно

оси имеем

l

Joz =

∫ x2dm

= ρ∫ x2dx , т. к. dm = ρdx ,

С

(l)

0

где ρ = m l

– удельная плотность стержня.

Выч сляя

нтеграл, получаем

m l

2

m l3

ml2

, таким образом, Joz =

ml2

иJoz = l ∫ x dx = l 3 =

3

3 .

0

Аналог чным о разом можно получить момент инерции стержня для

его центральной оси z

:

J

=

ml2

.

C

CZ

б12

11. Чему равен момент инерции относительно параллельных осей. Теорема

Гюйгенса-Штейнера?

Существует связь между моментами инерции тела относительно

параллельных осей

(теорема Гюйгенса-Штейнера), одна из которых

А

проходит через центр масс.

Теорема. Момент инерции тела

JOz1 относительно некоторой оси Oz1

равен

сумме

момента

инерции

JCz

тела

относительно

оси

Cz,

проходящей

через

центр

Д

масс

И

параллельно

данной

оси,

и

произведения массы тела на квадрат

расстояний

между

осями:

J x =

mb2

; J y =

ma2

.

6

6

13. Что называется радиусом инерции?

Радиусом инерции тела, например ix ,

называют линейную величину, квадрат

С

которой,

умноженный на массу тела, равен

моменту

инерции тела относительно

соответствующей оси координат:

J

x

= i

2m .

x

14. Какой г роскоп называется свободным?

В

г роскоп ческ х

приборах

гироскопы

обычно закрепляют в кольцевом подвесе так, что

любом повороте г роскопа его центр тяжести

остается неподв жным. Такой гироскоп называется

свободным.

при15. В чём состо основное свойство свободного

гироскопа?

Пр меняемые в технике гироскопы имеют большую угловую

скорость

вращения ω1 вокруг своей оси симметрии. Если

собственного

тело вращается вокруг неподвижной оси Оz, являющейся осью симметрии

тела, то вектор

L0 кинетического момента совпадает с осью вращения:

L0 = Lz = J zcω1, где J zc

– момент инерции гироскопа относительно его оси

симметрии. Ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление

в пространстве по отношениюАк инерциальной (звездной) системе отсчета.

Это важное свойство гироскопа используется

при конструировании гироскопических приборов.

Д

16. Сформулируйте теорему Резаля.

Пусть на ось быстро вращающегося гироскопа

начинает

действовать

сила

момент которой

F ,

относительно центра О равен по модулю M0 = Fh.

По теореме моментов

И

dL

d(OB)

0

= M0 или

= M0 ,

dt

dt

сторону действия силы, а по направлению, которое имеет

вектор М0

момента этой силы относительно неподвижной точки О гироскопа, т. е.

перпендикулярно силе. Из равенства следует также, что когда действие

силы F прекращается,

то М0 , а следовательно,

uB

обращаются в нули и

ось гироскопа останавл

вается.

движен

17. Что является мерой инертности при поступательном и вращательном

Сях?

При поступательном движении твёрдого тела так же, как и при

движен

матер альной точки,

мерой инертности

является

масса. При

б

его

инертности является

вращательном

дв жен

твёрдого тела мерой

момент

нерц

относ тельно оси вращения.

18. Расскаж те о моментах инерции однородных пластин.

А

Осевые моменты инерции однородных пластин

Форма тела

JOX

JOY

JOZ

Форма тела

m·R2/2

Д

m·R2/4

m·R2/4

m·(R2–r2)/2

m·(R2–r2)/4

И

m·(R2–r2)/4

m·(b2+d2)/3

m·d2/3

m·b2/3