18. ТЕОРИЯ УДАРА

1.Изобразить на рисунке внешние ударные импульсы.

2.Вычислить сумму моментов ударных импульсов относительно оси

1. Дать определен е понятию «удар».

Ударом называют явление, при котором за малый промежуток

Приняты условные обозначения: С1, С2 – центрыИмасс тел 1, 2; VC1; VC2

– скорости центров масс тел.

Удар есть процесс, при котором в течение очень малого промежутка времени действуют очень большие силы. Время этого процесса часто равно тысячным и даже десятитысячным долям секунды. Величина силы, приложенной к телу во время удара, может в тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить вес тела.

2. Какой удар называется прямым? Коэффициент восстановления при прямом ударе?

142

импульсов на нормаль к поверхности за вторую и первую фазы удара.

В случае негладкой (шероховатой) поверхности Uτ <Vτ. При решении многих задач можно не учитывать ударное трение, т.е. принимать Uτ =Vτ.

В теории удара классической механики сделаны следующие допущения:

а) Действие немгновенных сил за время удара не учитывают.

б) Перемещение материальной точки за время удара не учитывают.

143

в) Результат действия ударной силы на материальную точку выражается в скачкообразном (конечном) изменении за время удара вектора её скорости, которое описывается векторным равенством

V2 = V1 + (S/m).

Шар ударяется оАнеподвижную плоскость со скоростью VC, которая направлена к этой плоскости под углом α. После удара шар отскакивает от неподвижной плоскости со скоростью UС под углом β к плоскости. Коэффициент восстановления при ударе определяют по формуле

Дtgα k = tgβ .

Последняя формула указывает удобный способ экспериментального определения коэффициента восстановления k при упругом ударе. По этому способу замеряют угол α и угол β отражения. И

В случае абсолютно упругого удара угол падения α равен углу отражения β, откуда k = 1.

6. Приведите примеры основных случаев удара двух тел в теоретической

механике.

На рисунках показаны основные случаи: 1 – удар свободной материальной точки о неподвижную поверхность; 2 – удар двух свободных материальных точек; 3 – удар несвободной материальной точки о неподвижную поверхность; 4 – удар двух несвободных материальных точек; 5 – удар двух тел на гладком основании; 6 – удар тела о неподвижную поверхность, нормальную к траектории движения; 7 – удар двух тел на гладкой горизонтальной поверхности с упругой . связью второго тела; 8 – вертикальный удар двух тел на упругом основании.

144

Си б

7. Приведите примерыАударного взаимодействия тел.

На рисунках показаны примеры: 1 – удар тела, совершающего плоское

движение, о поступательно движущееся тело; 2 – удар двух тел, совершающих плоские движения; 3 – удар поступательно движущегося

вращательное движение; 7 – удар в простой зубчатой передаче, возникающий при резком торможении ведущего колеса; 8 – удар в планетарной передаче, возникающий при резком торможении водила или ведущего колеса.

145

Си б А Д

8. Приведите примеры ударного взаимодействия движущегося тела с

основанием.

На рисунках приведены примеры: 1 – преобразование плоского

движения тела во вращательное; 2 – преобразование поступательного движения тела в плоское; 3 – преобразование поступательного движения

совершающего плоское движение; 5 – изменение траектории поступательно движущегося тела; 6 – изменение траектории движения свободной материальной точки при ударе о неподвижную поверхность; 7 – процесс разгона приведенной массы гидравлического оборудования; 8 – ударное уплотнение грунтов; 9 – забивка сваи; 10 – прессование порошка падающим грузом.

146

Линия центров – линия, проходящая через центры масс соударяющихся тел.

Центральный удар – удар, при котором линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс.

Прямой удар – удар, при котором скорости центров масс Ссоударяющихся тел лежат на линии центров.

Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющ хся тел не лежит на линии центров.

10. Рассмотреть прямой упругий удар двух тел. Определить коэффициент восстановления.

б

Рассмотрим прямойАцентральный упругий удар двух тел. На рисунке изображена расчётная схема этого удара. о удара (см. рис. а) соударяющиеся тела 1 и 2 движутся в одном направлении с абсолютными

В течение первого этапа (см. рис. б) Исовершается деформация соударяющихся тел. В течение второго этапа – частичное восстановление недеформированного состояния. В момент окончания первого этапа и начала второго центры масс тел обладают одинаковыми скоростями, которые они имели бы в конце соответству ющего абсолютно неупругого удара. В конце второго этапа центры масс тел имеют другие абсолютные

скорости UС1, UС2.

Отношение изменений скоростей тел после удара к скоростям тел до удара характеризуется коэффициентом восстановления при ударе. Коэффициент восстановления при ударе – величина, равная модулю

148

отношения разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль после удара к разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль до удара.

Величину коэффициента k определяют по формуле

−U

С −VC2On

где UC2On, UC1On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 2 и 1 на главную нормаль после удара; VC1On, VC2On – проекции абсолютных

скоростей центров масс тел 1 и 2 до удара.

Коэфф ц ент восстановления, являющийся безразмерной величиной, изменяется в пределах от 0 до 1 (0 < k < 1); при абсолютно неупругом

ударе k = 0, упругом ударе k < 1, при абсолютно упругом ударе k = 1.

при11. Дать определен е понятию «а солютно неупругий удар».

В зав бс мости от степени восстановления недеформированного состоян я удары разделяются на абсолютно неупругие, упругие и абсолютно упруг е.

Абсолютно неупруг й удар – удар, при котором недеформированное состоян е соударяющ хся тел не восстанавливается.

В конце неупругогоАудара центры тяжести соударяющихся тел движутся с одинаковыми скоростями.

12. Дать определение понятию «упругий удар».

Упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние тел восстанавливается не полностью.

Вконце упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся

сразными скоростями.

состояние соударяющихся тел восстанавливаетсяДполностью.

13. Дать определение понятию «абсолютно упругий удар».

Абсолютно упругий удар – удар, при котором недеформированное

В конце абсолютно упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.

14. Рассказать теорему об изменении количества движения механической системы при ударе.

иучитывая, что по свойству внутренних сил, в том числе и ударных,

∑Ski = 0, получим

Q −Q0 = ∑Ske .

149

Данное векторное равенство выражает теорему об изменении количества движения механической системы при ударе.

Изменение вектора количества движения системы за время удара равно векторной сумме внешних ударных импульсов сил, приложенных к точкам системы за это же время.

15. Рассказать теорему о движении центра масс механической системы при ударе.

Выражая количество движения механической системы через массу системы скорость центра масс, имеем

Следствия теоремы о движении центра масс:

1. Если сумма ударных импульсов внешних сил равна нулю ∑Ske = 0 , то по закону сохранения количества движения и скорости движения центра

Количество движения механической системы и скорость центра масс не изменяются, если векторная сумма внешних ударных

скорости движения центра масс при ударе И

импульсов сил, приложенных к точкам, равна нулю.

2. Если имеется координатная ось, например Оx, для которой сумма

Qx = Q0x ; UCx =VCx .

16. Рассмотреть удар на материальную точку.

Согласно известным утверждениям кинематики поступательное движение твёрдого тела имеет такие же уравнения движения, как и точка. Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием силы тяжести G и активной силы FiE на участке АВ. В момент времени, когда материальная точка занимает на

150

траектории её движения положение В, происходит удар. В этом положении материальная точка получает конечное изменение скорости от V1 до V2. В момент удара на материальную точку кроме сил G и FiE действует ударная сила Р.

движется под действием силы тяжести G и активной силы FiE. В действительности скачок скорости происходит в течение очень малого промежутка времени.

Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Ударный импульс – импульс ударной силы за время удара.

Шар массой m движется поступательно, и скоростьИVC направлена по нормали к неподвижной массивной поверхности в точке А. В момент времени, когда шар достигает этой поверхности, происходит прямой центральный удар. Различают две фазы этого удара. В течение первой фазы шар деформируется до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. Во время этой фазы кинетическая энергия шара обращается в потенциальную энергию сил упругости деформируемых тел и частично расходуется на их нагревание. В течение второй фазы под действием сил упругости шар частично восстанавливает свою первоначальную форму. Из-за остаточных деформаций и нагревания шара первоначальная кинетическая энергия шара полностью не восстанавливается. Поэтому шар

151

отделяется от неподвижной поверхности с абсолютной скоростью UС, модуль которой меньше модуля его скорости VC до удара.

Спри

Шар падаетбна неподвижную горизонтальную плоскость с высоты h1, этом начальная скорость его центра масс равна нулю (VC0 = 0). В

начале процесса удара скорость его центра масс равна VC. В конце удара

шар со скоростью центра масс UС отрывается от неподвижной поверхности

и поднимается на высоту h2max, где скорость его центра масс равна нулю. По известным величинам h1, h2max определяют коэффициент

восстановления при ударе по формуле

Аk = h2max .

Вслучае абсолютно неупругогоДудара шар от плоскости не отделяется, т е. h2 = 0. Тогда k = 0.

При абсолютно упругом ударе шар отскакиваетИот неподвижной плоскости и возвращается в исходное положение, т. е. h2max = h1. В этом случае k = 1.

При упругом ударе h2max < h1 и, следовательно, 0 < k < 1.

Вслучае прямого центрального удара тела о неподвижную поверхность модули скоростей связаны соотношениемCС h

18. Рассмотреть потерю кинетической энергии при ударе двух тел.

Из–за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе происходит частичная потеря кинетической энергии соударяющихся тел. Определим потерю кинетической энергии при упругом ударе двух поступательно движущихся тел, имеющих коэффициент восстановления k.

152

Введём условные обозначения: Т1 – кинетическая энергия механической системы до удара; Т2 – кинетическая энергия механической системы после удара; Т – потеря кинетической энергии механической системы в процессе удара.

Величины Т1, Т2, Т определяют по формулам

где m1, m2 – массы соударяющихся тел; VC1, VC2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел до удара; UC1, UC2 – модули абсолютных

При абсолютно упругом ударе k = 1 и, следовательно, T = 0.

19. Теорема об изменении кинетического момента механической системы

при ударе.

Теорема об изменении кинетического момента механической

где последнее выражение равно нулю по свойству внутренних сил.

Проецируя векторное равенство на оси координат, получим уравнения

153

Lx − L0x = ∑M x (Ske ) ; Ly − L0y = ∑M y (Ske ) ; Lz − L0z = ∑M z (Ske ).

Если механической системой является твердое тело, вращающееся относительно оси Оz, и на него действует ударный импульс, то

2. Если имеется координатная ось, например Ox, относительно которой ∑M x (Ske ) = 0 , то из уравнений

Lx − L0x = ∑M x (Ske ) ; Ly − L0y = ∑M y (Ske ) ; Lz − L0z = ∑M z (Ske )

следует закон сохранения кинетического моментаИотносительно оси при ударе

Lx = L0x = const .

21. Рассказать о действии ударных сил на твёрдое тело при его вращении

относительно неподвижной оси.

Рассмотрим процесс удара при вращении твёрдого тела на примере плоской пластины под действием активных сил FiE и реакций RiE внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ.

Твёрдое тело до удара вращается относительно оси ОХ с угловой скоростью ϕ. В момент удара о неподвижную поверхность (см. рис. а)

твёрдое тело имело угловую скорость ϕ1 , а после удара его угловая скорость изменилась до значения ϕ2 (см. рис. в).

154

относительно оси вращения при ударе равно сумме моментов внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно той же оси. Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на

155

Тогда теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе можно представить в следующем виде:

156