10. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ
10.1. Рекомендации для проведения практического занятия
Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на определен е мгновенного центра скоростей при плоскопараллельном движен твердого тела.
Перед зучен ем данной темы необходимо повторить со студентами |
|||
дифференц |
|||
вопросы |
з курса математики: проецирование векторов на ось, правила |
||
Срован я векторных функций скалярного аргумента. |
|||
Необход мо также повторить перед изучением данной темы следующие |
|||
вопросы |
з раздела «К нематика»: способы задания движения точки, |
||
|
|
б |
|
основная задача к нематики твердого тела, понятия о видах движения |
|||
твердого тела, основные типы задач на плоское движение твердого тела. |
|||
Требован я к знан ям студента: |
|||
1. |
Уметь четко формулировать основные положения кинематики |
||
твердого тела. |
А |
||
|
|||
2. |
Знать четкое представление о сложении и разложении движений. |
||
3. |
Знать о классификации движений твердого тела. |
||
4. |
Владеть методикой расчета кинематики простых механизмов. |
||
|
|
|
Д |
|
|
10.2. Методические рекомендации к решению задач |
|
Задачи, относящиеся к данной теме, можно разбить на два типа. Первый тип – это задачи на составление уравнений плоского
движения и с их помощью определение ускорений точек плоской фигуры для произвольного момента времени, то есть как функции времени.
которой подлежит найти.
В задачах этого типа определяются координатыИтой точки, скорость
Затем по формулам кинематики точки определяется ее скорость. Второй тип задач – это задачи на определение различных
кинематических параметров при плоском движении тела для фиксированного момента времени.
При решении таких задач рекомендуется следующая последовательность действий:
Записать условие задачи.
1.Изобразить кинематическую схему исследуемого механизма.
2.Пронумеровать звенья механизма.
3.Произвести анализ движения всех звеньев механизма.
73
4. Указать на схеме направление движения каждого звена. Для звеньев, движущихся поступательно, указать направление скорости, для вращающихся звеньев указать направление вращения, для звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, указать направление мгновенного вращения.
5. Выбрать звено, угловое ускорение которого можно определить в первую очередь.
6. Выбрать метод решения задачи.
7. Определ ть ускорение ближайшей точки, в которой ведущее звено соединяется со следующ м звеном.
8. Зап сать необход мые теоремы и соотношения в общем виде. |
||||
9. Зап сать указанные теоремы и соотношения в применении к |
||||
С |
|
|
|
|
данному механ зму. |
|
|
|
|
10. Про звести все нео ходимые дополнительные построения. |
||||
11. |
мгновенный центр ускорений, найти ускорение заданной |
|||
точки. |
|
|
|
|
12. |
Определ ть |
величину |
и знак углового |
ускорения |
Найти |
|
|
||
рассматр |
ваемого звена. |
|
|
|
13. Найти ускорен е точки, в которой рассматриваемое звено |
||||
соединяется со следующим звеном. |
|
|
||
14. По изложенной выше методике определить угловое |
ускорение |
|||
|
б |
|
||
следующего звена. |
|
|
|
|
15. Найти все величины, требуемые по условию задачи, |
||||
проанализировать полученные результаты. |
|
|||
16. Записать ответ. |
|
|
|
|
Замечание: угловоеАускорение любого звена и ускорение любой точки |
||||
можно найти и без |
мгновенного |
центра ускорений (пункт 12). Но |
||
|
|
Д |
||
мгновенный центр ускорений позволяет найти общие и в некоторых случаях очень интересные закономерности в распределении ускорений различных точек. И
10.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов
1. Как определяются скорости точек плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей?
Скорость любой точки плоской фигуры в данный момент времени представляет собой вращательную скорость этой точки вокруг мгновенного центра скоростей:
VА =PАω; VА PА; VВ =PВω; VВ PВ,
т. е. скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению мгновенной угловой скорости фигуры на длину отрезка,
74
соединяющего точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры.
Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей:
С |
|
|
|
|
VА = РА. |
|
|
|
|
|
VВ |
РВ |
|
|
|
|
|
|
||
2. Назовите следствия теоремы об ускорениях точек плоской фигуры. |
||||||
ледств е 1. Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на |
||||||
ось, проведённую |
з произвольного полюса через эту точку, не может |
|||||
ми |
|
|
||||
быть больше проекц |
|
ускорения полюса на ту же ось. |
||||
ледств е 2. Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на |
||||||
одной прямой |
делят |
эту |
прямую на части, пропорциональные |
|||
расстоян ям между эт |
|
точками. |
|
|||
б |
||||||
3. Где наход тся МЦС, если известна скорость точки А и |
||||||
направлен е скорости точки В? |
|
|
||||
МЦС наход тся на пересечении перпендикуляров к |
||||||
скоростям, проведённых через точки |
и В: |
|||||
|
|
VA |
|
|
|
|
ω= |
АРV |
|||||
|
|
AP |
|
|
|
|
4. Где находится МЦС, если известна скорость точки А тела и угловая скорость ω?
МЦС находится на перпендикуляре к вектору VА в |
||
точке А на расстоянии : |
|
Д |
|
|
|
АР = |
A . |
|
|
ω |
|
5. Где находится МЦС, если тело перекатывается без |
||
|
|
И |
проскальзывания по поверхности |
неподвижного тела? |
|
МЦС находится в точке соприкосновения тел в точке Р.
6. Где находится МЦС, если известны длина отрезка АВ, скорости VA и VВ двух точек тела, которые перпендикулярны к
отрезку АВ и направлены в одну сторону?
МЦС находится на продолжении отрезка АВ в точке пересечения с прямой, проведенной через концы векторов
VA и VB .
Для определения ω составляем выражение
75
ω= |
VA |
= |
VB |
, откуда |
BP = |
VB |
AB . |
|
АВ + ВР |
|
BP |
|
|
VA −VB |
|
7. Где находится МЦС, если известны длина отрезка АВ, скорости VA и VB двух точек тела, которые перпендикулярны
отрезку АВ и направлены в разные стороны ? |
|
|
|
|||||
МЦС |
|
|
|
|
|
|||
находится внутри отрезка АВ. Для определения |
||||||||
ω составляем выражение |
|
|
|
|
|
|||
ω= |
VA |
= |
VB |
, откуда |
АР = |
V |
А |
AB. |
|
AP |
|
AB − AP |
|
|
VA +VB |
||
8. Где наход тся МЦС, если скорости двух точек тела параллельны?
В этом случае МЦС находится в бесконечности, т.е. |
||
отсутствует. Тело совершает мгновенное поступательное |
||
|
б |
|
движен е, тогда скорости двух |
всех других точек тела |
|
одинаковы. |
|
|
фигуры9. Какую точку плоской |
называют мгновенным центром ускорений? |
|
Точка Q, ускорен е которой в данный момент равно нулю, называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).
10. Может ли мгновенный центр ускорений совпадать с мгновенным центром скоростей?
Мгновенный центр скоростей P и мгновенный центр ускорений Q являются различными точками плоской фигуры.
11. Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры? |
|||||||||||
Ускорение любойАточки плоской фигуры |
|||||||||||
равно геометрической сумме ускорения полюса |
|||||||||||
и ускорения этой точки во вращательном |
|||||||||||
движении вокруг полюса: |
|
|
Д |
||||||||
|
аМ = аА + аМАВ |
+ аМАЦ ; |
|||||||||
|
аМАВ АМ ; аМАЦ |
|
|||||||||
|
→ ( )А. |
|
|
|
|
|
|||||
Модули |
ускорения |
определяют |
по |
||||||||
формулам |
|
аМАЦ = ω2 АМ. |
|
И |
|||||||
аМАВ = ε АМ; |
|
||||||||||
Определим модуль ускорения |
|
|
|
|
|||||||
|
аМА = |
(аМАВ )2 + (аМАЦ )2 |
= АМ |
ε2 + ω4 |
. |
||||||
Угол, образованный вектором aMA |
|
с радиусом-вектором r′, |
|||||||||
определяется по формуле |
µ = arctg |
aМВA |
= arctg |
ε |
. |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
aМЦA |
|
ω2 |
|||||
76
Ускорение точки M плоской фигуры определяется путём построения многоугольника ускорений.
12. Перечислите известные вам способы определения положения мгновенного центра ускорений.
а) По условию задачи известна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка плоской фигуры, ускорение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
которой в данный момент равно нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Эта точка является мгновенным центром |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ускорен й. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Известны модуль и направление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
фигурыµ = arctg |
|
ω2 . |
|
|
||||||||||||||||
ускорен я точки А, а также величины |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и ε, тогда для нахождения Q (МЦУ) следует вектор aA |
повернуть в |
|||||||||||||||||||
направлен вращен я |
, если оно ускоренное (и в обратном, если |
|||||||||||||||||||
замедленное) на острый угол µ, определяемый формулой |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
На полученной прямой отложить отрезок |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
AQ = |
|
|
aA |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ε |
2 |
+ ω |
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) Известныбмодули и направления ускорений двух точек А и М |
||||||||||||||||||||
плоской фигуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примем точку А за полюс, тогда аМ |
= а + а . |
|
||||||||||||||||||
Построим |
при точке |
Другая |
||||||||||||||||||
М параллелограмм |
ускорений |
по заданной |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диагонали аМ |
и однойМАиз сторон . сторона параллелограмма |
|||||||||||||||||||
определит ускорение аМА . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорение аМА составляет угол µ = arctg |
|
ε |
|
|
с отрезком МА. Отложим |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
ω2
угол µ от ускорений точек А и М по направлению ε.
Точка пересечения полупрямых Q и будет мгновенным центром ускорений.
13. Как определяются ускорения точек плоской фигуры через мгновенный
центр ускорений? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модули ускорений точек плоской фигурыИпропорциональны |
|||||||||||
расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений, а векторы |
|||||||||||
ускорений оставляют с отрезками, соединяющими эти точки с мгновенным |
|||||||||||
центром ускорений, один и тот же угол |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ε |
|
|
|
|
|
a |
|
AQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
µ = arctg |
|
|
|
|
; aA = AQ ε2 + ω4 ; |
|
A = |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
ω2 |
|
BQ |
|||||||||
|
|
|
|
aB |
|
||||||
77