7. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
7.1. Рекомендации для проведения практического занятия
Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на задание дв жен я твердого тела. Рассмотреть поступательное движение твердого тела, кр вол нейное поступательное движение тела. Теорема о
траектор ях, скоростях и ускорениях точек тела при поступательном |
||
радиусакр в зны кр вой, нахождение скорости и ускорения при |
||
движен . |
|
|
СПеред зучен ем данной темы рекомендуется повторить со |
||
студентами следующ е вопросы из курса математики: дифференцирование |
||
интегр рован е функц й. Нео ходимо также повторить перед изучением |
||
б |
|
|
данной темы следующие вопросы из раздела «Кинематика»: |
||
кинемат ческ е характеристики движения точки, понятие кривизны и |
||
координатном спосо е задания движения. |
|
|
А |
||
Требован я к знан ям студента: |
|
|
1. Уметь правильно формулировать теоремы кинематики для тел, |
||
совершающих простейшие движения. |
|
|
2. Знать методы определения величины и направления скоростей и |
||
ускорений точек твердого тела при поступательном движении. |
||
|
Д |
|
7.2. Методические рекомендации к решению задач |
||
Зная уравнения поступательного движения тела, можно найти |
||
следующие кинематические характеристики: |
И |
|
а) траекторию движения; |
|
|
б) положение тела на траектории движения в любой момент времени; в) скорость любой точки и ориентацию вектора этой скорости в
пространстве; г) ускорение любой точки и ориентацию вектора этого ускорения в
пространстве в любой момент времени.
7.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов
1. Назовите простейшие движения твердого тела.
Простейшими движениями твёрдого тела являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.
54
2. Дайте определение поступательного движения твердого тела.
Поступательным движением твердого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жёстко соединённая с телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени. Траектории точек поступательно движущегося твёрдого тела могут быть прямыми и любыми кривыми.
радиуса-вектора точки А на постоянный |
вектор АВ. Если этот сдвиг |
|||||||||||
осуществить, то обе траектории совпадут всеми своими точками. Такие |
||||||||||||
траектории являются одинаковыми. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если продифференцировать по времени уравнение, то получим |
|||||||||||
|
|
|
|
drB |
= drA |
+ d |
AB. |
|
И |
|||
|
|
|
|
dt |
|
dt |
dt |
|
|
|
||
|
В этом соотношении |
|
|
|
dr |
|
|
|
||||
|
|
|
|
dr |
|
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
B |
=V |
B |
A =V |
A |
|
|||
|
3. Какое движение называется мгновенно поступательным? |
|||||||||||
|
Движение твёрдого тела, для которого векторы скоростей точек равны |
|||||||||||
только в од н момент времени, а не всё время, называется мгновенно |
||||||||||||
поступательным дв жен ем. Для мгновенного поступательного движения |
||||||||||||
ускорен я точек в общем случае не являются одинаковыми. |
||||||||||||
С4. формул руйте теорему о поступательном движении твердого тела. |
||||||||||||
|
|
поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и |
||||||||||
ускорен я всех точек тела одинаковы. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
5. Докаж те теорему о поступательном движении твердого тела. |
|||||||||||
|
Рассмотр м две точки А и В |
|
|
|
|
|||||||
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
твёрдого тела. Рад усы-векторы этих |
|
|
|
|
||||||||
точек удовлетворяют условию (рис. ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
rB |
= rA + |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
твёрдого тела вектор |
|
|
|
|
|||||
АВ |
|
любого |
|
|
|
|
||||||
является постоянным по модулю, а |
|
|
|
|
||||||||
при |
поступательном |
движении он |
не |
|
|
|
|
|||||
изменяется и по направлению.
Уравнение показывает, что годограф радиуса-вектора точки В, |
|
АВ |
|
являющийся траекторией этой точки, сдвинут по сравнению с годографом |
|
|
Д |
dt |
dt |
Кроме того, для AB – постоянного по модулю и направления вектора –
d (AB)= 0.
dt
Таким образом, для любого момента времени имеем VB =VA .
55
|
|
|
|
|
dV |
|
|
dV |
|
|
|
|
||
Дифференцируя по времени получим |
B |
|
= a |
; |
|
A |
= a |
, |
|
|||||
dt |
|
|
||||||||||||
тогда a B |
= aA . |
|
|
|
|
B |
|
dt |
|
|
A |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
о поступательном |
движении |
твёрдого |
тела |
||||||||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Запишите уравнения поступательного движения твердого тела. |
|
|||||||||||||
Поступательное движение твёрдого тела полностью определяется |
||||||||||||||
движением одной его точки уравнениями: |
x = f1 (t); |
y = f 2 |
(t); |
z = f3 |
(t). |
|||||||||
вободное твёрдое тело, совершающее поступательное движение, |
||||||||||||||
имеет три степени свободы, и уравнения являются уравнениями |
||||||||||||||
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
поступательного дв жен я твёрдого тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С7. Как м свойством о ладают скорости точек твердого тела при |
||||||||||||||
поступательном дв жен |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Все |
|
твёрдого |
тела, движущегося |
поступательно, описывают |
||||||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
в каждый |
||||||
тождественные |
параллельные между собой траектории и |
|||||||||||||
момент времени |
меют геометрически равные скорости и ускорения. |
|
||||||||||||
8. Как ми свойствами о ладает поступательное движение твердого тела? |
||||||||||||||
Поступательным |
движением твёрдого тела называется такое |
|||||||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|||||||
движение, при котором лю ая прямая линия, проведенная на теле, остается |
||||||||||||||
во всё время движения тела параллельной своему начальному положению. |
||||||||||||||
|
|
|
|
Д |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||
При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы (при наложении друг на друга траектории движения точек А, В, С совпадают), а скорости и ускорения всех точек геометрически равны:
VA = VB = VC ; aA = aB = aС.
Эти свойства позволяют свести изучение поступательного движения тела к изучению движения его отдельной точки, т. е. к задаче кинематики точки. За такую точку, как правило, выбирают центр тяжести (центр масс) тела.
9. Расскажите об уравнениях поступательного движения твердого тела относительно неподвижной плоскости.
Рассмотрим поступательное движение тела, при котором все его точки перемещаются параллельно неподвижной плоскости OXY.
56
С |
= f1(t), YC = f2(t), описывающие движение центра С |
|
Выражен я |
XC |
|
тяжести тела, называют уравнениями поступательного движения твёрдого |
||
тела на |
. |
|
плоскости |
||
Для тела |
при |
его поступательном движении имеем следующие |
выражен я:
а) уравнен я поступательного движения тела в пространстве:
X = f (t), Y = f (t), Z = f (t);
бC 1 C 2 C 3
б) уравнен я поступательного движения тела параллельно плоскости
OXY: XC = f1(t), YC = f2(t);
в) уравнен е поступательного движения тела параллельно координатной оси ОХ
XC = f1(t).
10. Как по заданным уравнениям поступательного движения твердого тела определить скорость и ускорение?
Если заданы уравнения поступательного движения тела, то несложно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
определить скорость VC и ускорение aС центра масс, а следовательно, и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||||||||
скорость, и ускорение любой точки этого тела по следующим формулам. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проекции X |
С |
, Y А, Y скорости VC центра масс на координатные оси: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
С |
|
= dXC/dt; |
Y |
|
|
= dYC/dt; |
|
Y |
|
|
= dZC/dt. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Модуль VC скорости центра масс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
VC = |
|
|
|
) |
2 |
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(X |
C |
|
(Y ) |
|
+ (Z |
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Направляющие косинусы: |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(VC, k) = Z |
|
|
|||||||||||||||||||
cos(VC, i) = |
|
X |
С |
/ VC; cos(VC, j) = |
Y |
|
/ VC; |
|
С |
/ VC. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проекции X |
С |
, Y |
, |
Z |
|
ускорения центра масс на координатные оси: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X |
С |
= |
dX |
C |
/ dt ; |
Y |
= dY / dt |
; Z |
|
|
= dZ |
C |
/ dt . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
C |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||
Модуль ускорения центра масс |
aС = |
|
|
(X |
|
2 2 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
C |
) |
|
+ (Y |
|
) + (Z ) . |
||||||||||||||||||||||||||||
Направляющие косинусы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos(aС, i) = X |
С |
/ aС; |
|
cos(aС, j) = Y |
/ aС; |
|
|
cos(aС, |
k) = Z |
/ aС. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|||
57