11. ДИНАМИКА ТОЧКИ

2.

Изобразить на расчетной схеме материальную точку в

произвольном положении и активные силы, действующие на точку.

3.

Освободиться от связей, наложенных на материальную точку,

заменив их реакциями связей, и показать их на расчетной схеме.

4.

Определить по заданному закону движения проекции ускорения на

оси координат.

С

5.

оставить дифференциальные уравнения движения материальной

точки в проекциях на оси координат.

6.

Из с стемы д фференциальных уравнений определить искомую

величину.

Вторая группа задач решается в такой последовательности:

1.

Изобраз ть с стему координат, если она не указана в условии

задачи.

2.

Изобраз ть на расчетной схеме материальную точку в

произвольном положен

и активные силы, действующие на точку.

3.

Освобод ться от

связей (в случае несвободной материальной

• Первая задача д намики.

x = f1(t), y = f2 (t) ,

Зная массу точки m и уравнения ее движения

С

z = f3(t) , найти модуль и направление равнодействующей сил,

приложенных

точке.

• Вторая задача д намики.

Зная с лы,

действующие на точку, ее массу m ,

а также начальное

положенточкие ее начальную скорость, получить уравнения движения

точки.

4. Опишите последовательность решения первой задачи динамики точки.

Зная массу точки и закон её движения, можно найти силу,

б

действующую на точку. Действительно, если, например, заданы уравнения

А

движения точки в декартовой системе координат

x=f1(t);

у=f2(t);

z=f3(t),

Д

то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных

уравнений движения точки, т. е.

F

= m

d 2 x

;

F

y

= m

d 2 y

;

F

= m

d 2 z

.

x

dt2

dt2

z

dt2

И

Зная проекции силы на координатные оси, можно определить модуль

силы и косинусы углов силы с осями координат:

F = F 2

+ F 2

+F z2 ;

x

y

F

Fy

F

cos(F, x) =

x

;

cos(F, y) =

;

cos(F, z) =

z

.

F

F

F

mx = Fx (t; x, y, z; x, y

, z); my = Fy (t; x, y, z; x, y, z);

mz = Fx (t; x, y, z; x, y, z) .

С

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых

координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных

дифференц альных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных

дифференц альных

уравнений известно,

что решение одного

постоянные, которых в о щем случае

шесть.

В качестве таких условий задают

начальные условия, т.е. в какой-то

определенный

момент

времени,

например при t=0 , задают координаты

движущейся точки и проекции ее

скорости на координатные оси:

х=х0; у=у0А; z=z0;

х =V0x ;

y =V0 y ; z =V0z .

дифференциального

уравнения

(или

уравнений) этого

движения

(например, при действии силы трения или силы сопротивления,

пропорциональной

квадрату

скорости).

Поэтому,

составив

дифференциальное уравнение движения, надо проверить, сохраняет ли оно

С

свой вид при изменении направления движения, если такое изменение

может произойти. Когда вид уравнения изменяется, надо для движений в

одну

в

другую

сторону составлять свои уравнения, поступая с

начальными услов ями так же, как в случае, когда на точку начинают

действовать

новые

с лы. Прежде чем

интегрировать составленные

При дв жен

точки в плоскости Оxy имеется два дифференциальных

уравнен я дв жен я.

В решения этих

уравнений

входят четыре

вольные постоянные.

произ

Постоянные определяются из начальных условий:

при

t=t0=0

x=x0; y=y0;

х

=V0x ;

y

=V0 y .

б

при

t=t0=0

x=x0;

х =V0x .

6. Основные законыАмеханики (законы Галилея-Ньютона):

а) Закон инерции. Материальная точка сохраняет состояние покоя или

равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других

тел не изменит это состояние.

И

Эти значен я подставляют в уравнения, представляющие общие

радиуса

решен я д фференц альных уравнений движения точки.

С10. Как е уравнен я динамики являются

уравнен ями дв жен я материальной точки в

декартовых осях коорд нат?

Если

б2

ускорен е

а

точки

М

определ ть

как вторую

производную

от

-вектора r , то д фференциальное

уравнен е дв жен я материальной точки

можно зап сать в в де

А

d

2

m

dt

= F.

Если спроецировать о е части векторного уравнения на координатные

производные:

d 2 x

И

а

х

=

dV

x

=

= x; а

у

=

dVу

=

d 2 у

= у; а

z

=

dV

z

=

d 2 z

= z.

2

dt

dt

Д2 2

dt

dt

dt

dt

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в

прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

mx = Fx ;

mу = Fу;

mz = Fz .

Оxy, имеем

mу = Fу .

mx = Fx ;

В этом случае z=0 и, следовательно, Fz = 0.

В случае движения точки по

прямой линии, направив по ней

Для естественных осей координат

maτ =Fτ;

man = Fn;

mab = Fb,

где аτ, аn, аb

Fτ, Fn, Fb – соответственно проекции ускорения и

равнодействующей с лы на касательную,

главную нормаль и бинормаль к

траектор

рассматр ваемом положении движущейся точки.

СОпредел ускорен я точки

aτ =

d 2s

;

an

=

V 2

ab=0,

dt2

ρ

;

где ρ – рад

ус кр в зны траектории.

уравнениями

Естественными

движен я точки являются

V 2

;

mS = ∑F cos(F

,τ); m

= ∑F cos(F

,n)

i

i

ρ

i

i

б

∑Fi

cos(Fi

,b)

=

0.

12. В чем состоит сущность принципа относительности классической

механики?

Принцип относительностиАклассической механики можно

сформулировать

так:

никакие

механические явления, происходящие в

Д

среде, не могут обнаружить ее прямолинейного и равномерного

поступательного движения.

И

силы инерции, т.е.

mar = F

+ R +Фе +Фk ,

где Фе = −mae ;

Фk = −mak

называют

соответственно переносной и

С

+Ф +Ф ;

mx

= F

+ R

x

x ex kx

mу

= Fу + Rу +Фeу +Фkу;

mz = Fz + Rz +Фez +Фkz .

∑Fi +Фe = 0 .

17. Чем

падающих тел к востоку?

отклонение

Тела, падающ е на землю, незначительно отклоняются от вертикали

материальной точки?

И

При неравномерном криволинейном движении точки силу инерции

представим в виде двух сил: касательнойДФ и нормальной Ф . Эти силы

τ

n

направлены противоположно касательному и нормальному ускорениям:

; Фn = mV

2

Фτ = −maτ;

Фn = −man ; Фτ = m dV

,

dt

ρ

где ρ – радиус кривизны траектории движения точки.

20. При каком движении материальной точки равна нулю ее касательная

сила инерции и при каком

– нормальная?

инерции определяются по формулам

Ф = mRω2 .

Ф = mR

ε

;

τ

n

где ε, ω– угловое ускорение и угловая скорость тела.

22. Какой модуль

какое направление имеют переносная и кориолисова

силы инерц

?

Переносная с ла

нерции численно равна произведению массы на

переносное ускорен е и направлена противоположно переносному

С

ускорен ю:

Фe = −mae .

Кор ол сова с ла

численно равна произведению массы на

ускорен е

направлена противоположно

ускорению

Кориолиса:

Ф = −ma .

к

к

нерции

23. Как определяются переносная и кориолисова силы инерции в

различных случаях переносного движения?

Если переносное движение – неравномерное вращение вокруг

неподвижной оси, то переносная сила инерции имеет две составляющие:

б

= −maв

и центро ежную

вращательную Фв

Фц = −maц;

Ф

=Фц

+Фв.

e

е

e

е

е

e

е

Переносная

вращательная

сила

инерции

направлена

Фв

противоположно вращательному ускорению, а ее модуль

e

Ав

Фe

= mR εе ,

где R – расстояние до оси вращения (радиус вращения).

Переносная

центробежная

сила

инерции

Фц

направлена

e

противоположно центростремительному ускорению, т. е. направлена по

Д

радиусу от оси вращения, а ее модуль Фц = mRω2 .

e

Сила

= −maк

направлена противоположно

инерции Кориолиса Фк

ускорению Кориолиса, и ее модуль Фк = 2m

ωе

Vr

sin(ωe

,Vr ).

24. Переносное движение – равномерное вращение вокруг неподвижной

оси.

И

При

равномерном

вращении

тела

εе=0

и

Фτ=0. Уравнение

ma

е

= F + R

+Ф +

Ф принимает форму ma

= F

+ N +Фn +Ф .

r

е

k

е

k

Ф =Фτ

+Фn ,

= −ma

е

е

е

где Фτ

τ –

переносная

вращательная

е

е

Фn = −man –

сила

нерц

;

переносная

е

е

центробежная

с ла

нерции.

Уравнение

ma = F + R +Ф +Ф

пр нимает форму

r

е

k

С

ma = F + N +Фτ +Фn

+Ф .

Здесь Фτ

= maτ

е

е

k

= mε

e

r; Фn = man

= mω2

r,

где r –

расстояние от

е

e

е

e

e

до оси переносного вращения. Кориолисова сила инерции Фk

точки

определяется по формуле

Фk =

2mωe Vr sin(ωe ,Vr ).

26. Переносное движение – поступательное криволинейное и

неравномерное движение.

Представлен

случай

б

криволинейного

поступательного

движения тела D на двух

кривошипах, при котором все точки

этого

тела движутся

по

круговым

траекториям

А

радиусом

r=O1A

и

имеют

одинаковые

скорости

и

ускорения. Точка М перемещается по

траектории АМВ.

Д

Переносные ускорения точки М равны соответствующим ускорениям,

например точки А: aeτ

=a Aτ ;

aen =a An .

Переносная угловая скорость тела равна нулю: ωе=0

и

Фk=0.

Ф =Фτ +Фn ,

И

е

е

e

где Фτ

= −ma

τ –

переносная

касательная сила

инерции;

Фn = −man –

е

е

е

е

dV

V 2

Здесь Фτ = maτ = m

e

;

Фn = ma

n

= m

e

,

е

е

dt

е

ρ

При равномерном

поступательном

переносном

движении aе = 0 ;

С

Фе = 0. В

этом

случае

из уравнения

mar = F + R +Фе +Фk

получаем

уравнен е

относ

тельного движения mar = F + R,

которое

совпадает с

нципе

Все подв жные с стемы отсчёта, которые движутся поступательно,

равномерно

прямол нейно относительно основной инерциальной

движен я матер альной

точки. Ускорения материальной точки в

б

инерциальных с стемах отсчёта одинаковы.

28. Расскаж те о пр

относительности классической механики.

Пр нц п

относ тельности

классической

механики

можно

сформул ровать

следующим о разом: динамические процессы и

А

механические явления в

различных инерциальных системах протекают

Д

29. Расскажите о движении точки относительно поверхности Земли.

Сила

тяжести P

тела на

поверхности

Земли есть

геометрическая

сумма силы гравитационного притяжения и переносной силы инерции.

Направление

вектора

силы тяжести

P

противоположно вектору N –

нормальной опорной реакции.

Направление вектора силы тяжести P у

поверхности Земли определяет направление вертикали в данной точке, а

плоскость, перпендикулярная вектору силы тяжести

является

P ,

горизонтальной плоскостью в данной точке поверхности Земли.

Движение точки вблизи поверхности Земли можно описать

дифференциальным уравнением относительного движения

. И

mar = P +Фe

+Фk

Переносные силы инерции для неподвижных тел на Земле являются

малыми

величинами.

Сила

инерции,

обусловленная

кориолисовым

ускорением,

равна

–

скорость

Фk = −mak = −m2(ωз ×Vr ), где

Vr