5. ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. формулируйте теорему о параллельном переносе силы.

С

илу можно переносить параллельно самой себе в любую точку

твердого тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой

равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки

приложен я с лы.

точки

2. Докаж те теорему

параллельном переносе силы.

Докажем, что с лу можно переносить параллельно самой себе в

новый центр, напр мер

з

А (рис. а) в точку В (рис. в), добавляя при

этом к телу соответствующую пару сил.

б

две равные по

Пр лож м в точке

В,

вы ранной за центр приведения,

модулю, но прот воположные по направлению силы F′ = F′′ = F (рис. б).

Получ м с стему трех с л, эквивалентную одной силе F

( F , F

′

, F

′′

),

в которой с лы F

F′ о разуют

векторный

момент

М

В ( F ),

А

перпенд кулярный плоскости действия пары (рис. б ), изображенный на

рис. в

в виде пространственного вектора МВ .

Д

В

случае

плоской

системы сил

векторный

момент

МВ ( F )

проецируется

И

F′) условно

сил. При

В

алгебра ческ х моментов сил относительно центра приведения.

С

выражения для главного вектора и главного

5. Нап ш те анал т

момента.

Для любой с стемы сил ( F1, F2 , …, Fn ) главный вектор R является

векторной суммой эт х с л:

ческие

n

R = ∑Fi ,

i =1

а главный момент МО − суммой векторных моментов сил относительно

n

б

центра приведения: МО = ∑МО

(Fi ).

i=1

Главный вектор R геометрически изображается замыкающей

силового многоугольника, построенного на заданных силах. Проецируя

обе части векторного равенства на координатные оси, для произвольной

А

пространственной системы сил имеем

n

n

n

Rx = ∑Fix ; Ry =

∑Fiy

;

Rz = ∑Fiz .

i=1

i=1

i=1

R = R2 + R2

+ R

2 .

x

y

z

Д

6. Как зависят главный вектор и главный момент от перемены центра

приведения?

геометрически тоже изображается замыкающей

Главный момент МО

И

С

приведены к одной силе, равной их главному вектору, приложенной в

центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту

всех сил относительно центра приведения.

9. Назов те услов я равновесия пространственной системы параллельных

сил?

Равновес ю

пространственной

системы

параллельных с л соответствуют три условия

равновес я:

n

б

∑Fiz = 0;

i=1

иn n

∑M x (Fi ) = 0; ∑M y (Fi ) = 0.

i=1

i=1

2

2

2

АR = R + R + R = 0;

x

y

z

2

2

2

Mo = M x

+ M y

+ M z

= 0.

И

11. Запишите уравнения равновесия пространственной системы сил.

n

n

Дn

∑Fix = 0;

∑Fiy = 0;

∑Fiz = 0 ;

i=1

i=1

i=1

n

n

n

∑M x (Fi ) = 0; ∑M y (Fi ) = 0; ∑M z (Fi ) = 0 .

i=1

i=1

i=1

Дана

сила

F , ее проекции на

прямоугольные оси координат вычисляют по

формулам

Fx = F i = F cos(F,i ) ;

Fy = F j = F cos(F, j) ;

Fz

= F k = F cos(F,k ) ,

ли

где

i ,

j ,

k

−

единичные векторы,

Снаправленные по осям координат.

14. Как выч сляется момент силы относительно оси?

Моментом

с лы

F

б

относительно

оси

z

называется

взятое со знаком плюс

минус

произведен е модуля проекции

FП

силы

F

на

плоскость,

А

перпендикулярную оси, на её плечо

h

относительно

точки

O

пересечения оси с плоскостью:

МZ = ±FП h.

15. Запишите аналитическую форму условия равновесия произвольной

пространственной системы сил.

Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу,

необходимо и достаточно, чтобы модуль главного вектора и модуль

главного момента этих сил относительно любого центра были равны нулю:

И

R

= R

2

2

2

x

y

z

M = M

2 + M

2 + M 2 = 0.

o

x

y

z

16. Запишите уравнения равновесия пространственной системы сил.

n

n

n

∑Fix

= 0;

∑Fiy = 0;

∑Fiz = 0 ;

i=1

i=1

i=1

n

n

n

∑M x

(Fi ) = 0; ∑M y (Fi ) = 0;

∑M z (Fi )

= 0 .

i=1

i=1

i=1

n

n

n

∑Fix = 0;

∑Fiy = 0 ; ∑Fiz

= 0.

i=1

i=1

i=1

18. Как аналитически определить равнодействующую пространственной

С

системы сходящихся сил?

Модуль равнодействующей

R =

R2

+ R2

+ R2

, где R

=

n

;

R

=

n

;

R

=

n

x

y

z

x

i =1

ix

y

i =1

iy

z

i =1

iz

эти

19. Выраз те моменты силы относительно координатных осей через

проекц с лы на

оси.

− z F ) ;

Мx = ∑Мx (F ) =

∑(y F

n

n

б

i=1

i

i=1

i iz

i iy

n

n

− xi Fiz ) ;

Мy = ∑

Мy (Fi ) = ∑(zi Fix

n

n

i=1

i=1

Мz = ∑Мz (Fi ) = ∑(xi Fiy − yi Fix ) .

i=1

i=1

А

20. Как определяется направление равнодействующей?

Направление

Д

равнодействующей

определяется

направляющими

косинусами

cos(R,i ) =

Rx

; cos(R, j) =

Ry

;

cos(R,k ) =

Rz

.

R

R

R

И

21. Как аналитически определить модуль главного момента

пространственной системы?

Модуль главного момента и косинусы его углов с осями координат

равны

2

2

2

;

МО = Мx + Мy + Мz

Мy

М

x ;

М

z

cos(МО ,i ) =

cos(МО

,

j) =

;

cos(МО

,k ) =

.

МО

МО

МО

относительно точки О, называется главным моментом системы сил

С

относительно этой точки, т.е

n

n

М

о = ∑Моi = ∑

ri × Fi .

i=1

i=1

относительно

24. Зап ш

главный момент системы сил относительно оси.

Момент, равный алгебраической сумме моментов всех заданных сил

z:

z,

называется

главным

моментом системы сил

n

n

Мz

= ∑Мzi

= ∑

riXY ×FiXY .

i=1

i=1

25. Что называют

векторным

моментом

силы

относительно точки

(пространственная с стема)?

является

Векторный

момент М

О

третьим векторомб, приложенным в

центре О перпендикулярно векторам r

и F , направленным так, что ы, смотря

навстречу вектору М

Д

, видеть силу

F ,

О

стремящуюся вращатьАтело против

часовой стрелки.

Если сила F дана своими проекциями F ,

F

y

,

F на оси координат и

x

z

i

j

k

= (yF

− zF

МО(F)= r × F =

x y z

y

) i

+ (zFИ− xF ) j + (xF − yF )k ,

Fx Fy Fz

z

x

z

y

x

где i ,

j ,

k − единичные векторы осей координат.

j ,

k

Выражения в круглых скобках перед векторами i ,

формулы

являются проекциями вектора МО ( F ) на оси координат:

Модуль векторного момента

МО ( F )

и косинусы его углов с осями

С

координат определяют по формулам

(F) =

М

О

(yF

− zF

y

)2 + (zF

− xF )2

+ (xF

y

− yF )2

;

z

x

z

x

М

Оx (F)

МОy (F)

и

cos(МО

,i ) =

;

cos(

МО , j) =

;

М

О (F)

МО

(F)

М

Оz (F)

cos(МО

,k ) =

.

МО (F)

В формулах ч словую величинуМО(F) берем со знаком плюс.

26. Докаж те теорему Пуансо о приведении произвольной системы сил к

заданному центру.

Любую

про звольную систему сил, действующих на твердое

А

тело, можно в о щем случае привести к силе и паре сил . Такой

процесс заменыбсистемы сил одной силой и парой сил называют

приведением системы сил к заданному центру .

Д

Пусть в

системе

координат

Оxyz дана

произвольная система сил

И

( F1

, F2

, …, Fn ), приложенных к твердому телу (рис. а).

( Fi , Fi′′), где i = 1,…,n. Систему сходящихся сил

Fi′

можно

заменить

результирующей

n

R = F1+ F2 + … + Fn = ∑Fi .

i =1

R не

Для заданной системы сил результирующая

сила

является

С

О

равнодействующей. Поэтому векторную сумму заданных сил,

приложенную в центре приведения О, называют

главным

вектором

n

МО = МО ( F1) + МО ( F2 ) + … + МО ( Fn ) = ∑

МО (Fi ) .

i =1

Векторную сумму моментов всех сил системы относительно точки О

27. Чему равен момент силы F относительно оси Oz.

К телу в точке А приложена силаДF.

Моментом силы F относительно оси

OZ

И

называется взятое со знаком «+» или «–»

произведение модуля проекции FOXY силы F

на плоскость, перпендикулярную оси, на её

плечо h1 относительно точки О пересечения

оси с плоскостью P: MОZ(F) = ± FОХY·h1.

Момент силы относительно оси считается

положительным, если, смотря навстречу оси

пользоваться теоремой, которую в 2010 г. предложили

гипотенузыДля треугольн ка АВС (см. рис. 1), стороны которого известны: ВС=а;

авторы данного пособ я:

Сквадрат высоты вершины треугольника равен разности квадратов

катета: г потенуза равна произведению двух сторон, образующих

вершину, поделенному на основание; катет равен сумме квадратов сторон,

образующ х эту верш ну минус квадрат основания, поделенные на удвоенное

основан е.

АС=b; АВ=с,

меем

a

b

2

2

+b

2

−c

2

2

h

2

=

a

(1)

−

2c

.

бc

Теорема высот треугольника сформулирована для

произвольного

треугольника,

поэтому

можно

Д

использовать ее для частного случая, когда

треугольник АВС прямоугольныйА(рис. 2), где сила F,

совпадающая с основанием

В=с,

стремится вращать

тело относительно вершины С прямого угла.

Плечо h силы F тоже определяется по теореме

высот треугольника

И

h2

a b

2

(2)

=

c

.