17. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

3. Если искомой величиной является реакция связи, то следует отбросив данную связь, заменить её действие на механическую систему соответствующей реакцией.

Дальнейший ход решения задачи зависит от того, сколько степеней свободы имеет исследуемая механическая система.

В случае механической системы с одной степенью свободы:

1. Дать возможное перемещение одной из точек механической системы и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от заданного возможного перемещения.

соотношен я в уравнен е ра от, определить искомую величину.

независимые 4. Выбратьвозможные перемещения точек

Для механ ческой с стемы с несколькими степенями свободы:

механической с стемы в числе, равном числу степеней свободы этой системы.

перемещений, для каждогоАнезависимого перемещения. Используя связи между возможными перемещениями точек приложения сил на каждом независимом перемещении, преобразовать полученные уравнения работ (как в случае механической системы с одной степенью свободы).

5. Сообщить возможное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы механической системы, считая при этом возможные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю. Составить уравнение ра от, выражающее принцип возможных

6. Решив полученную систему уравнений (число уравнений, которой равно числу степеней свободы механической системы), определить

1. Что называется связями?

Связи – материальные тела, осуществляющие ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Эти ограничения записываются в виде уравнений или ограничений.

2. Что называется уравнениями связей?

Уравнения связей – уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).

131

3. Дайте определения стационарных и нестационарных, голономных и

неголономных связей.

а) Если равенства, выражающие связи явно не содержат время, их называют стационарными, а если в эти равенства явно входит время, то нестационарными.

4. Как е связи называют геометрическими связями?

Геометр ческ е связи – связи, уравнения которых содержат только координаты точек механ ческой системы.

Эти связи выполнены в виде тел, поверхностей, линий и т. п. Например, связь в в де некоторой поверхности описывается уравнением

координат точек механической системы содержат ещё первые производные от эт х координатАпо времени.

Уравнение такой связи имеет вид

f(X, Y, Z, dX/dt, dY/dt, dZ/dt) = 0.

6. Какие связи называют двусторонними? односторонними?

Связь называется двусторонней, если накладываемые ограничения на

направлениях. Ограничения, накладываемыеДна координаты точки односторонней связью, выражаются неравенствами. Односторонняя связь препятствует перемещению точки тела лишь в одном направлении.

координаты точки выражаются в форме равенств, определяющих поверхности, на которых должна находиться эта точка. Двусторонняя связь препятствует перемещению точки в двух противоположных

8. Что представляют собой обобщенные Икоординаты механической

7. В чем сущность принципа освобождаемости от связей?

Принцип освобождаемости от связей позволяет рассматривать движение несвободной материальной точки как движение свободной точки

под действием задаваемых сил и реакций связей.

системы?

Независимые величины qi , однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы.

9. Чему равно число степеней свободы механической системы?

132

Для голономных систем число независимых обобщенных координат qi механической системы равно числу степеней свободы этой системы.

10. В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только

от обобщенных координат, но и от времени?

При наличии нестационарных связей декартовы координаты всех точек механической системы являются функциями не только обобщенных координат, но и времени.

11. Как формул руется принцип возможных перемещений?

Необход мое достаточное условие равновесия системы сил,

Возможные перемещения δSA, δSВ, δSС точек А, В, С можно связать с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:

δSA = VA·δt; δSB= VB·δt; δSC= VC·δt,

где δt – бесконечно малый промежуток времени.

133

14. Как задаются возможные перемещения при вращательном движении?

При вращательном движении за обобщённую координату в таком движении принимают угол поворота φ, а за возможное перемещение δφ – приращение угла поворота.

Модули возможных перемещений δSA, δSВ, δSС точек А, В, С определяют по формулам

СδSA = АО·δφ; δSВ= ВО·δφ; δSС= СО·δφ.

и б Следует отметитьА, что при вращательном движении твёрдого тела

возможные перемещения точек тела геометрически различны, т.е. δSA ≠ δSВ ≠ δSС.

15. Как задаются возможные перемещения при мгновенно поступательном

движении?

Рассмотрим частный случай плоскопараллельного движения –

мгновенно поступательное движение.

Из курса кинематики известно, что при мгновенно поступательном

VA =ДVB = VC.

движении скорости всех точек тела геометрически равны: И

Так как δSA = VA·δt; δSB = VB·δt; δSC = VC·δt, то отсюда следует, что равны и возможные перемещения этих точек:

δSA = δSB = δSC.

16. Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

Возможные перемещения от действующих сил не зависят.

17. Какие связи механической системы называют идеальными?

Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Идеальными связями являются: гладкая поверхность; шарнирно-подвижная и

134

шарнирно-неподвижная опоры; шероховатая поверхность при качении по ней рассматриваемого тела и др.

18. Как задаются возможные перемещения при плоскопараллельном движении?

Плоскопараллельное движение твёрдого тела можно представить как вращательное движение относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС). В этом случае в качестве обобщённой координаты используют только угол поворота φ.

Как прав ло, в нженерной практике возможные перемещения точек механической с стемы определяют с помощью мгновенного центра вращен я (мгновенного центра поворота), положение которого всегда

Модули возможных перемещений δSA, ИδSВ, δSС точек А, В, С определяют по формулам

δSA = АР·δφ; δSВ = ВР·δφ; δSС = СР·δφ,

где АР, ВР, СР – соответственно расстояния от точек А, В, С до мгновенного центра вращения.

Необходимо еще раз напомнить, что возможные перемещения δSA, δSВ, δSС точек А, В, С связаны с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:

135

δSA = VA·δt; δSB= VB·δt; δSC= VC·δt.

Таким образом, направления возможных перемещений точек и их скоростей совпадают.

лучаи 2, 3, 4.

Формулы для определения модулей возможных перемещений точек А, СВ, в случаях 2, 3, 4 остаются такими же, как и формулы для случая 1.

и б А Д

19. Что называют возможной (элементарной) работойИсилы?

Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая величина, равная скалярному произведению вектора силы F на вектор возможного перемещения δS точки её приложения.

На рисунке показаны векторы F и δS.

Согласно определению возможную работу δA(F) силы F определяют по формуле

δA(F) = F·δS = F·δS·cos(F, δS) = F·δS·cosα.

136

В зависимости от величины угла α возможная работа δA(F) может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

противоположны, то δA(F) < 0.

21. Как формулируется план решения задач на принцип возможных перемещений?

а) Изобразить все задаваемые силы и показать моменты действующих пар сил.

137

б) Сообщить системе возможное перемещение и показать на рисунке углы δφk элементарных поворотов тел и векторы δsk элементарных

перемещений точек приложения сил.

в) Подсчитать элементарные работы всех активных сил на заданном возможном перемещении и составить уравнение.

22. Как е в ды может иметь уравнение работ?

Для равновес я голономной механической системы со многими степенями свободы, подчиненной идеальным, стационарным и

была равна нулю на лю ом возможном перемещении системы по заданной обобщенной коорд нате

Если для точек механической системы возможные перемещения задать изменением радиуса-вектора, проведенного из произвольной точки О, то уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, будет

иметь вид

i=1

23. Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

Если система, состоящая из большого числа тел, имеет одну степень свободы, то принцип возможных перемещений устанавливает сразу условие равновесия задаваемых сил, приложенных к системе.

24. Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

138

Отбрасывают ту связь, реакцию которой требуется определить. Действие связи заменяют реакцией, которая переходит в число задаваемых сил. Системе сообщают возможное перемещение, соответствующее полученной степени свободы. Составляют уравнение работ, в которое входят задаваемые силы и реакция отброшенной связи. Из этого уравнения определяют искомую реакцию.

С25. Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

Если с стема меет несколько степеней свободы, то уравнения работ составляются для каждого независимого перемещения системы в отдельности получается столько условий равновесия, сколько степеней свободы меет механ ческая система.

26. Показать зав с мость между движущей силой и силой сопротивления в простейш х маш нах?

Для установлен я зависимости

27. Задайте возможное перемещение рычагу.

Рычаг АВ может совершать вращательное движение. Рычаг АВ рассматривается как механическая система, на которую наложена связь – шарнирно-неподвижная опора.

В качестве обобщённой координаты используемИугол φ поворота тела. Зададим углу φ бесконечно малое перемещение δφ, которое называют возможным угловым перемещением или приращением угловой координаты φ. При повороте рычага на угол δφ точки А и В переместятся по дугам ААI, ВВI.

Возможные перемещения точек А и В рассматривают как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек замещают направленными прямолинейными отрезками (векторами δSA, δSB), отложенными по касательным к траекториям точек. Модули возможных перемещений δSA, δSB точек А и В определяют по формулам

δSA = АО·δφ; δSВ = ВО·δφ.

139

Си

28. Показатьбсходные новые связи для определения опорных реакций.

А Д И

140