13. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

3.

Задачи, решаемые с использованием дифференциального уравнения

вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При решен

задач всех типов вначале рекомендуется:

1.

Выяв ть совокупность тел, включаемых в систему.

2.

Установ ть действующие на механическую систему внешние силы

и изобраз ть х на р сунке.

С

3.

Выбрать с стему координат, одну из осей которой направить вдоль

оси вращен я тела, входящего

механическую систему.

4.

Нап сать выражения для главных моментов всех внешних сил

системы относ

тельно осей вы ранной системы координат.

5.

Состав ть

для момента количеств движения системы

выражение

относительно

введенной неподвижной оси, определяя его как

б

1. Какой вид имеют дифференциальные уравнения поступательного

движен я твёрдого тела?

Д фференц альные уравнения поступательного движения твердого

сти

тела в проекц ях на прямоугольные оси координат:

Сn e

my =

n

e

n e

mx

= ∑Fkx ;

∑

Fky ;

mz = ∑Fkz .

k =1

k =1

k =1

об

В эт х уравнен ях х, у,

z являются координатами произвольной точки

тела, в частно

, это могут

ыть координаты его центра масс.

2.

Какой

в д

меет

дифференциальное

уравнение

вращательного

движен я твёрдого тела? На основании какой теоремы оно получено?

Теорема

зменен и кинетического момента имеет вид

dLz = ∑n M

z

(F (e) )= M

z

,

dt

k =1

k

где M z

– главный момент внешних сил.

Д

При вращении твердого тела вокруг оси

Oz, кинетический момент

L

z

= J

z

ω, где

J

z

–

момент инерции

относительно оси

вращения; ω –

А

угловая скорость вращения.

Получаем

И

J z

dω

= M z .

dt

Учитывая, что dω/dt=ε, получим дифференциальное уравнение

вращательного движения твёрдого тела

J zε = M z

n

e

или J zϕ = ∑M z (Fk ).

k=1

3. Какой вид имеют дифференциальные уравнения плоскопараллельного

движения твёрдого тела?

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения имеют

вид

mxc = Fxe ;

mуc = Fуe ;

Jczϕ = Mcz ,

плоскость с мметр

, то во всех точках этой плоскости одна из главных

осей

направлена по перпендикуляру к этой плоскости.

С

5. Как определяется момент количеств движения (кинетический момент)

твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси

вращен я?

Для твердого тела, представляющего

собойинерцсовокупность конечного числа точек,

кинетическ й момент относительно оси

вращен я z можно представить следующим

образом:

б2

Lz = ∑M z (mkVk ) = ∑mkVk hk =

∑mk hk ω.

Учитывая,

что

J

z

= ∑m

h2

– момент

k k

инерции вращающегося тела относительно

оси z, получим

А

Lz = J zω .

Кинетический

момент

тела

относительно

оси

вращения

равен

Д

произведению момента инерции этого тела

относительно оси вращения на угловую

скорость тела.

6. Расскажите вывод теоремы об изменении кинетического момента

механической системы.

И

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы под

действием активных сил F E

, реакций RE внешних связей и внутренних

RJ . Выберем

i

i

сил

некоторый

неподвижный центр О и определим

i

ΣdLCiO/dt = dLO/dt = ΣMO( F E ) + ΣMO( RE ) + ΣMO(

RJ ),

i

i

i

где LO – вектор кинетического момента механической системы

относительно центра О.

С

и

Как известно, для неизменяемой механической системы

геометрическаябсумма внутренних сил равна нулю (Σ RJ =

0). Отсюда

i

следует, что и геометрическая сумма моментов этих сил относительно

любого центра равна нулю. Приняв за такой

центр точку О, имеем

ΣMO( RJ ) = 0. Тогда получим

i

А

dLO/dt = ΣMO( F E ) + ΣMO( RE ).

i

i

Производная по времени от кинетического момента механической

системы относительно некоторогоДнеподвижного центра

равна

геометрической сумме моментов, приложенных к системе активных сил и

реакций внешних связей относительно того же центра.

Последнему векторному равенству соответствуют три равенства в

проекциях на оси координат:

И

dLOX/dt = ΣMOX( F E ) + ΣMOX( RE );

i

i

dLOY/dt = ΣMOY( F E ) + ΣMOY( RE ); dLOZ/dt = ΣMOZ( F E ) + ΣMOZ( RE ),

i

i

i

i

где LOX, LOY, LOZ – кинетические моменты механической системы

относительно координатных

осей;

ΣMOX( F E ),

ΣMOY( F E ),

ΣMOZ( F E ) –

i

i

i

суммы моментов активных

сил

относительно координатных

осей;

ΣMOX( RE ), ΣMOY( RE ),

ΣMOZ( RE ) – суммы моментов реакций внешних

i

i

i

связей относительно координатных осей.

Производная по времени от кинетического момента механической

системы относительно некоторой оси равна сумме моментов,

приложенных к системе активных сил и реакций внешних связей

относительно той же оси.

7. Расскажите следствия из теоремы об изменении кинетического момента

механической с стемы.

1. Если геометр ческая сумма моментов, приложенных к системе

активных

л

реакц й внешних связей относительно некоторого

ханической

неподв жного центра, остается всё время равной нулю, то кинетический

Смомент механ

системы относительно этого центра остается

постоянным.

Если

ΣMО( F E ) +

ΣMО( RE )

=

0,

то

dLО/dt

= 0 и,

i

i

следовательно, LО = const.

i

бi

приложенных к

2. Если

алге ра ческая

сумма

моментов,

ме

стеме активных

сил

и

реакций

внешних

связей

относительно некоторой оси, остается всё время равной нулю, то

кинетическ й момент механической системы относительно этой же оси

остается постоянным.

А

Действительно,

если ΣMOX( F E )

+ ΣMOX( RE ) = 0, то dL

OX/dt = 0 и

отсюда следует, что LOX = const.

8. Определить кинетический момент механической системы относительно

оси OZ,OY,OX.

Д

Момент количества движения LCiOZ

И

каждой

точки

Ci

системы

относительно оси вращения OZ определяется по формуле

LCiOZ = (mCi·Y

)·XCi – (mCi· X

Ci

)·YCi.

Ci

и относ тельно любой оси, через него проходящей, равны нулю. В этом

ческий

случае к нет ческ й момент относительно любой оси, проходящей через

Сцентр масс, остается постоянным.

10. Почему

к нет

момент Солнечной системы

относительно ее

центра масс не

зменяется?

б

под действием

Дв жен е

тел Солнечной системы происходит

должен оставаться не зменным по величине и направлению.

А

11. При каких условиях движение свободного твердого тела является

поступательным?

Для поступательного движения твердого тела необходимо, чтобы в

решать следующие задачи:

1) По заданному уравнению вращения телаИϕ = f (t) и его моменту

e

инерции J z определять главный момент внешних сил M z = Jzϕ;

2) По заданным внешним силам, начальным условиям ϕ0

и ω0 и по