1798

121

(рис.11.3,б) от оси 0-х ординату Q2=-RB на участке II и проводим прямую, параллельную оси 0=х. Получаем эпюру поперечных сил на участке II.

Вся эпюра поперечных сил представлена ступенчатой линией. Для I- го участка эпюра положительная, для II-го участка – отрицательная.

Запишем уравнение равновесия моментов относительно точки К2

Координата х=а соответствует точке С. Здесь в конце участка I и начале участка II изгибающий момент Ми = Fab/l. В конце участка II, соответствующем точке В, изгибающий момент равен нулю. Соединяем эти точки прямой и получаем эпюру на участке II (рис.11.3,в).

Полная эпюра изгибающих моментов представляется треугольником, изгибающий момент во всех сечениях балки – положителен.

В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила Q меняет свой знак, т.е. претерпевает разрыв на величину F, мгновенно переходя от +Q1 до -Q2.

Опасным сечением балки АВ будет точка С приложения силы F, где

Мmax = Fab/l и Qmax = RA= =Fb/l.

Построим эпюры для балки (рис.11.4,а), лежащей на двух опорах А и В и нагруженной силой F и парой сил с моментом М. Отбросим опоры А и В, заменив их реакциями RА и RВ. Составим уравнения равновесия. Приравняв нулю сумму моментов от внешних сил относительно точки А, получим

Если Fa > M, то RB имеет знак (+). Если Fa < М, то RB имеет знак (-). Приравняв нулю сумму моментов от внешних сил относительно точки В, получим

МВ=М+F b-RAl=0,

122

откуда

F b M

Для проверки приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось Y

Y=RA-F+RB=0, (11.19)

где знак силы RB.

Поперечная сила на участке I равна

123

Q2 = RA - F = + RB (эпюра обозначена на рис. 11.4,б пунктирной линией). Изгибающий момент на участке II:

Ми2 = -М - F(x2 - a) + RA x2. (11.24)

Подставив значение RA из формулы (11.18), получит

При х2 = l изгибающий момент, так как l - a = b,

Мu2 M Fb (Fb M)l 0. l

На рис. 11.4,б и 11.4,в приведены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

11.3.Нормальные напряжения при изгибе

Впоперечных сечениях

балки кроме касательных (см. рис.11.1) возникают нормальные напряжения. При поперечном изгибе внутренние силы приводятся к поперечной силе Q и изгибающему моменту Ми.

Поперечная сила определяется касательными

124

При таком нагружении участок балки деформируется – изгибается выпуклостью вниз. Форма деформации показывает, что на выпуклой стороне материал растягивается (зона напряжения обозначена знаком +), а на вогнутой стороне материал сжимается ( зона сжатия обозначена знаком -). Между зонами растяжения и сжатия имеется нейтральный слой О-О. Продольные волокна на выпуклой стороне растянуты, на вогнутой стороне сжаты, а волокна нейтрального слоя О-О сохраняют первоначальную длину.

Рассмотрим растяжение волокна а-а, длину которого обозначим l1, а длину волокна О-О нейтрального слоя обозначим l. До деформации длина всех волокон равнялась длине волокна нейтрального слоя l. Удлинение волокна а-а равно l = l1-l, а относительное удлинение

126

меньше , тем кривизна больше. Произведение EIх называется жесткостью сечения, которое характеризует сопротивление искривлению. С увеличением EIх кривизна уменьшается.

Если подставить значение 1 в уравнение (11.30), то получим

Когда z = h/2, нормальное напряжение достигает максимума:

Отношение осевого момента инерции Ix к расстоянию до наиболее удаленных от нейтрального слоя волокон (h/2) симметричного сечения называется осевым моментом сопротивления и обозначается Wx:

Этот момент сопротивления позволяет определить максимальное напряжение в материале изогнутого стержня

Момент сопротивления при изгибе играет такую же роль, как площадь поперечного сечения при растяжении и сжатии.

Вычислим значение момента сопротивления для простейших сечений.

Для валов круглого сечения осевой момент инерции равен

осевой момент сопротивления ( h d )

2 2

127

Для прямоугольного сечения (рис.11.7) осевой момент инерции

равен

bh3

осевой момент сопротивления

Для рационального использования материала форму поперечного сечения балок делают такого профиля, когда основная масса материала находится на возможно большем расстоянии от нейтрального слоя. Примером таких балок являются железнодорожные рельсы. В машиностроении и строительстве применяют балки таких профилей, как швеллер и двутавр. Геометрические характеристики таких сечений приводятся в справочной литературе.

11.4. Расчеты на прочность при изгибе

При изгибе балок сплошных поперечных сечений касательные напряжения по поперечному сечению не оказывают влияния на прочность. Поэтому прочность таких балок в условиях поперечного изгиба определяется максимальной величиной нормальных напряжений.

Опасное сечение балки находится максимальной величиной изгибающего момента. Для определения положения опасного сечения балки строится эпюра изгибающих моментов.

Проверка прочности и подбор сечений балок производится исходя из условия, чтобы наибольшие нормальные напряжения max не превосходили допускаемых [ ] на растяжение и сжатие для материала балки. Для балок из материалов, которые одинаково сопротивляются растяжению и сжатию (сталь, древесина), применяются симметричные сечения, чтобы максимальные растягивающие и сжимающие напряжения были равны

Это условие позволяет решать следующие три задачи.

1. Проверочный расчет или проверка прочности, когда известны размеры поперечного сечения балки, т.е. Wх, максимальный изгибающий момент, который будем для простоты расчетов впредь обозначать Ми, и

128

допускаемое напряжение [ ]. Напряжение max будем обозначать и. Для расчета используем условие (11.44), переписав его в виде

2. Проектный расчет или подбор сечения балки, когда известны внешние силы, определен наибольший изгибающий момент Ми=Мmax и известно допускаемое напряжение [ ]. Решив неравенство (11.45) относительно Wx, получим

Если сечение балки сложного профиля, то по таблицам, приведенным в справочниках, подбирают нужные размеры сечения, чтобы табличное значение Wx табл не превосходило расчетное значение Wx.

Если это вал круглого сечения, то подставив значение Wx из формулы (11.41) в формулу (11.46), получим

3. Расчет предельного изгибающего момента, когда для готовой конструкции требуется определить максимальную нагрузку. Решив неравенство (11.45) относительно Ми, получим значение предельного момента

Балку одинаковой длины, нагруженную одними и теми же внешними силами, можно изготовить:

1)из разных материалов ([ ] и [ ]);

2)с поперечным сечением разных размеров и разной формы (Wx1 и

Wx2).

Задача состоит в сравнении прочности этих балок. Критерием прочности выступает предельный момент Мипр. Если Мипр1 больше Мипр2, то балка 1 прочнее балки 2. Если предельные моменты у двух балок равны, т.е.

то такие балки называют равнопрочными. Подставив в равенство (11.49) значение моментов, получим

Если это вал круглого сечения, то подставив значение Wx из формулы (11.41), получим

d13 1 d23 2

32 32