1798

111

10.2.Расчет валов на прочность и жесткость

Впредыдущем параграфе было показано, что наибольшие касательные напряжения располагаются на поверхности вала. Они являются опасными напряжениями и не должны превосходить допускаемых, т.е.

Это уравнение является условием прочности при кручении.

С помощью формулы (10.18) можно проводить три вида расчетов, аналогичных деформации растяжения (см. § 8.2).

1.Проверочный расчет проводится по формуле (10.18), чтобы убедиться в прочности детали после того, как узел спроектирован.

2.Проектный расчет. Для этого уравнение (10.18) нужно решить относительно Wр:

Момент инерции для круглого сечения определяется по формуле

где d – диаметр вала.

Момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле

Подставив значение Wр в формулу (10.19) и решив ее относительно диаметра d, получим

Проектный расчет предусматривает определение диаметра вала по известным крутящему моменту Мк и допускаемому напряжению [ к].

3. Расчет предельного момента проводят с целью определения наибольшей нагрузки на вал по формуле, полученной из формулы (10.18),

112

Это уравнение называется условием равнопрочности.

Соблюдение условия прочности (10.18) часто бывает недостаточным. Длинные валы при допускаемом крутящем моменте, т.е. при обеспеченной прочности, закручиваются на большой угол, а если момент Мк не постоянен, то они "играют", как пружина, вызывая колебания (вибрации). Это очень вредно для работы машины. Поэтому установлены допускаемые значения угла закрутки, точнее относительного угла закрутки , определяемого по формуле (10.1) и являющегося характеристикой жесткости вала.

Требование достаточной жесткости вала определяется по условию

где допускаемый относительный угол закрутки вала

[ ] = (0,25 ... 1) град/м = (0,0045 ... 0,0175) рад/м . (10.27)

Проверочный расчет на жесткость проводят по формуле (10.26). Проектный расчет на жесткость – по формуле

Произведение GJр называется жесткостью сечения вала при кручении. Аналогом при растяжении является произведение ES (см. § 8.3).

Жесткостью вала при кручении называется отношение крутящего

Это выражение получено из формулы (10.17). Валы разных размеров и изготовленные из разных материалов имеют равную жесткость, если

где параметры, имеющие индекс 1, относятся к первому валу, а индекс 2 – ко второму.

dв dн

(10.40)

и подставить в формулу (10.39), то получим

Jp dн4 (1 4).

32

(10.41)

Если уравнение (10.41) разделить на rн = dн/2, то получим

Рис.10.4

10.4. Примеры расчетов

Пример 1. Стальной вал сплошного сечения передает мощность N = 60 кВт. Частота вращения вала n = 240 об/мин. Определить диаметр вала d из условий прочности и жесткости, если [ k] = 40 МПа, допускаемый угол закручивания [ 0] = 1 град/м, модуль сдвига G = 8·105 МПа.

Р е ш е н и е.

Определяем крутящий момент, приложенный к валу,

Из расчета на прочность по формуле (10.22) определяем диаметр

вала

Определяем полярные моменты инерции: для стального вала

J р.ст d4 404 2,5 105 мм4; 32 32

для алюминиевого вала

Пример 4. Подобрать диаметр вала, нагруженного моментами М1=2 кН·м; М2=10 кН·м; М3=1 кН·м; М4=9 кН·м. Допускаемое касательное напряжение для материала вала [ k] = 50 МПа. Построить эпюры крутящих

моментов.

Р е ш е н и е

Если смотреть на торец вала, то момент, вращающий вал против часовой стрелки, будет

Рис.10.5

положительным, а по часовой стрелке – отрицательным. Будем смотреть на вал с торца А. На участке длиной a будет действовать крутящий момент М1 = 2 кН·м, он будет положительным. На участке длиной b будет действовать два момента: положительный М1 и отрицательный М2=10 кН·м. Их алгебраическая сумма будет равна 8 кН·м. На участке длиной c будет действовать три момента: + М1; - М2 и М3=-1кНм. Их алгебраическая сумма равна - 9к Н·м. Перенесем все на график (эпюру) рис. 10.6.

117

Если начинать суммирования с торца B, то на участке c будет действовать крутящий момент (см. на торец B), который вращает вал по часовой стрелке, значит, он имеет отрицательный знак, т.е. М4 = -9 кН·м, что соответствует эпюре, изображенной на рис.10.6.

Итак, согласно эпюре наибольший крутящий момент будет на участке длиной c. По наибольшему моменту подберем диаметр вала из условия прочности

Рис.10.6

11.ИЗГИБ

11.1.Основные понятия

Изгибу подвергаются длинные детали типа стержней, у которых поперечные размеры малы по сравнению с длиной (балки, валы и др.). Изгиб появляется под действием поперечных внешних сил и реакций опор, вызывающих изгибающие моменты. Такой изгиб называют поперечным. Если на стержень действуют только продольные силы, под действием которых стержень теряет устойчивость и прогибается, то такой изгиб называют продольным.

Рассмотрим балку на двух опорах (рис.11.1), нагруженную силой F. В опорах А и В на балку будут действовать реакции опор RА и RВ. Под действием силы F и реакций опор балка будет прогибаться, что отмечено пунктирной линией.

Мысленно рассечем балку сечением 1-1 в произвольной точке Ê на расстоянии х от начала координат (точки А).

Теперь отбросим опоры и правую часть балки КСВ и рассмотрим равновесие оставшейся части АК(рис.11.1,б). Чтобы оставшаяся часть балки находилась в равновесии, нужно соблюдение нулю суммы проекций

118

где S – площадь поперечного сечения балки. Нормальные напряжения, о которых подробно будет рассмотрено ниже, создают внутренний изгибающий момент Ми.

изгибающий (внутренний) момент Ми имеет знак плюс (+).

Если моменты М от внешних сил изгибают балку выпуклостью вверх, когда растянутые волокна находятся сверху, то изгибающий момент Ми имеет знак минус (-) (рис.11.2,б).

Если внешние силы Р поднимают левую

Рис.11.2

119

и опускают правую часть балки, то поперечная сила Q имеет знак плюс (+) (рис.11.2,в).

Если внешние силы Р стремятся опустить левую и приподнять правую часть балки, то поперечная сила Q имеет знак минус (-).

11.2. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил

Законы изменения внутренних силовых факторов: изгибающих моментов и поперечных сил, которые определяются уравнениями, где функциями являются Q и Ми, а аргументом – абсцисса Х, удобно представлять в виде графиков, ординаты которых для любого значения абсциссы Х дают соответствующие значения изгибающего момента М или

поперечной силы Q. Такие графики называются эпюрами. При построении эпюр положительные значения М и Q откладывают вверх от оси абсцисс, а отрицательные – вниз.

Построение эпюр имеет целью определить опасное сечение, где внутренние силовые факторы достигают своего максимума.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил.

Рис.11.3

Для определения опорных реакций RА и RВ составим уравнения равновесия, приравняв нулю сумму моментов всех внешних сил относительно точек А и В.

120

Для проверки составим уравнение равновесия проекций всех сил на

не обращается в нуль, то нужно искать ошибку в расчетах реакций опор. Разбиваем балку на два участка: I-й участок – АС; II-й участок – СВ. На I-м участке сделаем произвольное сечение балки 1-1 на

расстоянии х1 от точки А, а затем мысленно отбросим часть балки справа

Поперечная сила постоянна по всей длине участка. На эпюре (рис.11.3,б) от оси 0-х откладываем ординату Q1=RA на I-м участке и проводим прямую, параллельную оси 0-х. Получаем эпюру поперечных сил на участке I. Площадь, занимаемая эпюрой, заштрихована вертикальными линиями и в кружочке поставлен знак (+).

Найдем выражение изгибающего момента в любом сечении на первом участке при изменении х1 в пределах от х1=0 до х1=а. Составим уравнение моментов относительно точки К1 (11.6), откуда получим

Согласно принятому правилу знаков изгибающий момент положителен, т.к. сила RA изгибает балку выпуклостью вниз (рис.11.2,а). Изгибающий момент является функцией аргумента х1, поэтому график будет иметь вид прямой линии. При х1=0; Ми1=0. При х1=а; Ми1=RA; а = Fab/l. Откладываем на эпюре (рис.11.3,в) эти ординаты и их концы соединяем прямой линией. Получаем эпюру изгибающих моментов на участке I.

На участке II сделаем произвольное сечение балки 2-2 на расстоянии х2 от точки А, а затем мысленно отбросим часть балки справа от сечения. На оставшейся части балки АК2 длиной х2 действуют силы RA и F, а в сечении балки действуют внутренние силовые факторы: поперечная сила Q2 и изгибающий момент Ми2.

Поперечная сила в любом сечении на участке II от х2=а до х2=l определится из уравнения равновесия (с использованием уравнения

(11.10)):