2.2.2. Физические приложения определенного интеграла

Масса стержня

Пусть ρ(x) − линейная плотность неоднородного стержня, расположенного на отрезке [a b;] оси OX. Рассмотрим произвольное

стержня, то точное значение этой массы будет равно пределу суммы

точки. Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси ОХ. Пусть сила F, действующая на тело, также направлена вдоль оси ОХ. Тогда работа А, совершенная силой F, определяется как произведение силы F на пройденный телом путь l=b−a, где а – начальное

постоянна. Однако на практике чаще приходится иметь дело с переменной силой. Поскольку сила на протяжении всего процесса перемещения тела меняется, весь процесс перемещения необходимо разбить на ряд отдельных этапов так, чтобы на протяжении каждого отдельного этапа силу можно было считать постоянной. А это в свою

47

очередь будет выполняться, если каждому этапу отвечает малое приращение времени или пути.

В этом случае, используя метод интегральных сумм, разбиваем

предположении, что на рассматриваемом малом интервале ∆xi сила не меняется. В результате мы приходим к «интегральной сумме»

n

∑ F(εi )∆xi , в которой для получения выражения для проделанной

i=1

работы А необходимо перейти к пределу, считая все отрезки ∆xi

равна A = Fx = F ϑ t и отношение работы к протекшему времени (то есть работа, произведенная в единицу времени, или мощность) есть

48

4. В термодинамике состояние газов описывается параметрами: давлением Р объемом V, температурой T. В общем случае любые два термодинамических параметра из трех могут изменяться произвольно (независимо). Однако наибольший практический интерес при изучении тепловых машин представляют некоторые частные случаи,

ккоторым относятся:

−изохорный процесс, протекающий без изменения объема

рабочего тела (dV = 0 или V = const );

−изобарный процесс, протекающий при постоянном давлении

( dP = 0 или P = const );

−изотермический процесс, протекающий при постоянной

температуре ( dT = 0 или T = const );

−адиабатный процесс, протекающий без теплообмена рабочего тела с окружающей средой (dQ = 0, Q – количествоИтеплоты);

−политропный процесс, который при определенных условиях может рассматриваться в качестве обобщающегоД по отношению ко всем предыдущим термодинамическим процессам.

При изучении термодинамических процессов идеальных газов решаются две основные задачи:Аб

рабочему телу количества теплоты и его распределение между изменением внутренней энергии и работой, совершаемой рабочим телом.

Рассмотрим изохорный, изобарный, изотермический процессы и

найдем для каждого из них работу газа, используя определенный интеграл.

Из термодинамики известно, что работа над газом (отрицательная работа) выполняется внешними силами при его сжатии. Работа самого газа (положительная работа) выполняется при его расширении. Сила, возникающая от давления газа, выполняет работу только в процессе изменения объема газа.

49

Величина работы газа по аналогии с нахождением механической работы переменной силы равна площади фигуры под графиком на диаграмме P −V для каждого из процессов и считается по формуле, являющейся общей для всех термодинамических процессов:

А. Изохорный процесс. При изохорном процессе выполняется условие V = const или dV = 0. Этот процесс описывается законом

Шарля TP = const [Жак Александр Сезар Шарль (1746−1823) − французский изобретатель и ученый]. График изохорного процесса в

Рис. 2.9. Изохорный процесс:

а − в P −V координатах; б − схема распределения теплоты

Подобный процесс может совершаться рабочим телом (газом), находящимся в цилиндре при неподвижном поршне, если к рабочему телу подводится теплота от источника тепла I или отводится теплота к холодильнику II (см. рис. 2.9, а).

Отметим, что при изохорном процессе вся теплота, подводимая или отводимая от рабочего тела, расходуется на изменение внутренней энергии (схема на рис. 2.9, б).

50

Б. Изобарный процесс. Изобарный процесс протекает при

французский химик и физик, член Французской академии наук]. График процесса в координатах P −V изображен на рис. 2.10, а.

Такой термодинамический процесс может протекать в цилиндре, поршень которого перемещается без трения так, что давление в цилиндре равняется постоянному давлению окружающей среды, действующему на поршень с внешней стороны (см. рис. 2.10, а). Например, рабочий процесс дизель−молота при забивании свай протекает примерно при постоянном давлении.

При изобарном процессе меняется температура рабочего тела и, следовательно, его внутренняя энергия. Поэтому на совершение внешней работы расходуется лишь часть теплоты, подведенной к рабочему телу извне. Преобразование энергии при изобарном расширении газа иллюстрируется схемой на рис. 2.10, б.

51