2.3. Несобственные интегралы

1.

Интегралы

с

бесконечными пределами.

Пусть

функция

y = f (x)

определена

и

непрерывна

при

x [a,+∞).

Тогда

И

несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом

определяется следующим образом:

b

+∞

(x)dx

= lim

f (x)dx .

(2.42)

∫

f

∫

a

b→+∞ a

А

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл

называется сходящимся, в противном случае − расходящимся.

б

Днесобственный

Аналогично

определяются

интеграл

с

бесконечным нижним пределом:

b

f

(x)dx

= lim

b

f (x)dx

(2.43)

∫

∫

−∞

a→−∞ a

и несобственный

нтеграл с двумя бесконечными пределами:

+∞

c

lim

b

f (x)dx ,

(2.44)

∫

f (иx)dx = lim ∫ f (x)dx +

∫

−∞

a→−∞ a

b→+∞c

где c − произвольное действительное число.

2.

ИнтегралыСот разрывных функций.

Пусть функция

y = f (x)

определена и непрерывна при x [a,b],

кроме точки c,

в которой

функция

f (x) имеет

бесконечный

разрыв.

Тогда

несобственный

Найти

следующие

несобственные интегралы: 1)

+∞ dx

;

∫

x2

+∞

dx

4

dx

9

dx

1

2)

; 3)

; 4)

.

∫

∫

∫

−∞ 1+ x2

0

x x

0

3

(x −1)2

+∞ dx

b dx

1 b

1

= 1.

∫

x

2 =

lim ∫

x

2 =

lim −

=

lim

−

b

+1

1

b→+∞ 1

b→+∞

x 1

b→+∞

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

2) На основании (2.44) получаем

+∞

dx

= lim

0

dx

+ lim

b

dx

И

∫

∫

1+ x2

∫

1

+ x2

=

−∞ 1+ x2

a→−∞ a

b→+∞ 0

0

b

π

π

= lim

Д

+

= π.

[arctgx]a+ lim [arctgx]0

= − −

2

2

a

→−∞

b→+∞

1) Подынтегральная

функция

f (x)

1

имеет

бесконечный

=

x

x

б

разрыв в точке x = 0. По формуле (2.45) имеем

4

dx

4

dx

2

4

2

∫

=

lim

∫

= lim

−

= lim

−1+

= +∞,

x x

0 x x

ε →+0

ε

Аx ε

ε →+0

ε

ε →+0

т.е. данный несобственный

нтеграл расходится.

1

4) В данном случае подынтегральная функция

f (x) =

и

3 (x −

1)

2

претерпевает

разрыв в

точке

x = 1,

лежащей

внутри отрезка

интегрирования. Используя определение, имеем

dx

dx

dx

9

С1−ε

9

[33

]10−ε +

∫

=

lim

∫

+ lim

∫

=

lim

x −1

3 (x −

1)2

0 3 (x −1)

2

ε

→+0

0

η →+0

1+η 3 (x −1)2

ε →+0

+

lim [33

]19+η =

3 lim

(3

− 3

)+

3 lim (3

− 3

)= 9,

x −1

− ε

−

1

8

η

η →+0

ε →+0

η →+0

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить несобственные интегралы (или установить их

расходимость):

185.

+∞∫

dx .

186.

+∞∫

xe− x 2 dx.

187.

0∫

dx

.

1

x5

0

dx

−∞ x2 + 9

+∞

+∞

16

dx

188.

∫ sin xdx.

189.

∫

.

190.

∫

.

−∞

−∞ x2 + 2x + 2

0

4

x3

3

dx

1

1

dx

191.

∫

.

192.

∫ ln xdx.

193.

∫

.

4

0 (x − 2)

0

0

x − x2

4.

Формула замены переменной в неопределенном интеграле имеет

вид __________________________ .

5.

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле

имеет вид __________________________ .

6.

К интегралу ∫ P(x)sin axdx применима формула интегрирования по

частям. При этом за u берется выражение ______________, а за dv

− выражение _______________ .

И

7.

Дробно-рациональной

функцией

дробью)

(рациональной

называется функция вида ________________.

8.

Д

Простейшими рациональными дробями называются дроби вида

_________________________________________________________ .

9.

А

Подстановка в да __________________ называется универсальной

тригонометрической подстановкой.

10.

б

y = f (x)

на [a;b]

называется

Интегральной суммой функции

11.

и

функции

y = f (x)

на [a;b]

Определенным интегралом от

12.

С

смысл

определенного

интеграла

Геометрический

_________________________________________________________.

16.

Пусть функция

y = f (x) определена и непрерывна на [a;+∞),

тогда несобственный интеграл

+∞

f (x)dx = _____________________.

∫

a

17.

Пусть функция

y = f (x) определена и непрерывна на (−∞;b],

тогда несобственный интеграл

b

f (x)dx = _____________________.

∫

−∞

18.

Несобственный

интеграл

с двумя бесконечными

пределами

+∞

определяется формулой ∫ f (x)dx = __________________________.

−∞

19.

Пусть функция

y = f (x)

определена и непрерывна

на (a;b],

23.

и

ограничена линиями

y = f (x)

Если кривол нейная

трапеция

С

и x = b, то её площадь найдется

( f (x) ≥ 0 на отрезке [a b;]),

x = a

по формуле ________________________________ .

24.

Если криволинейная трапеция ограничена линиями y1 = f1(x) и

y2 = f2 (x)

и двумя прямыми x = a и

x = b, где

f1(x) ≥ f2 (x) на

отрезке

[a;b], то

её

площадь

найдется

по

формуле