2.2.1. Геометрические приложения определенного интеграла

Y

y=f(x)

А

И

О

б

Дx=b

X

x=a

Рис. 2.1. Криволинейная трапеция

Используя

и

докажем, что

площадь

метод

нтегральных сумм,

С

,

ограниченной

непрерывной

кривой

криволинейной

трапец

i = 1,2,..., n . ∆x

= x − x− длина i -го частичного отрезка (рис. 2.2).

i

i

i −1

[xi −1; xi ],

i = 1,2,...n,

2. Внутри

каждого

частичного

отрезка

произвольным образом выбираем точку сi .

3. Находим значение определяемой функции f (x) в точке сi , то

есть значение

f (сi ) (из т. сi проводим прямую, параллельную оси

ОY, до пересечения

с

графиком

функции

y = f (x);

ордината

произведений вида

Si = f (ci ) ∆xi , выражающих площадь

прямоугольников с основанием ∆xi и высотой hi = f (ci ).

Y

y=f(x)

И

h1=f(c1)

Д

1

А

h

c

1

c2

ci-1

ci

ci+1

c

n

x0=a

и

=b

О

x1

x2

xi-1

x

i

xi+1

xn

X

С

Р с. 2.2.бПлощадь криволинейной трапеции

4. Составим сумму всех таких произведений (сумму площадей):

f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2

n

n

+...+ f (cn )∆xn = ∑ f (ci ) ∆xi = ∑ Si = Sn .

Sn

i =1

i =1

Полученная

сумма

равна

площади

ступенчатой

фигуры

S = lim

Sn =

n

b

lim

∑ f (ci ) ∆xi =

∫ f (x)dx .

n→∞

max ∆xi →0 i =1

a

n→∞

Геометрический

смысл

определенного интеграла

b

f (x)dx от

∫

неотрицательной функции

y = f (x) ( f (x) ≥ 0

a

на отрезке [a b;])

S

b

f (x)dx.

(2.7)

= ∫

a

И

Если

f (x) ≤ 0 на отрезке [a,b], то

b

S = −∫

f (x)dx .

(2.8)

Д

a

Формулы (2.7) и (2.8) можно объединить в одну:

b

А

dx .

(2.9)

S = ∫

f (x)

a

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми

б

y1 = f1(x)

и

y2 = f2 (x)

и двумя

прямыми x = a и

x = b, где

и

f1(x) ≥ f2 (x)

на отрезке [a,b], находится по формуле (рис. 2.3)

С

S = b∫[f (x)− f (x)]dx .

(2.10)

1

2

a

b

О

X

x = x(t);

y(t) ≥ 0; α ≤ t ≤ β ,

y = y(t);

β

′

(2.11)

S = ∫ y(t)x (t)dt .

α

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой r = r(ϕ )

и двумя

полярными

радиусами

ϕ = ϕ1

и

ϕ = ϕ2

(где ϕ1 ≤ ϕ2 ),

вычисляется по формуле

1 ϕ

И

(2.12)

Д

Вычислить

А

1) параболой y = x2 +1

, прямыми x = −1;

x = 2 и осью абсцисс;

2) ветвью

б

прямыми

x = −6 ;

x = −2 и осью

гиперболы

y = 1 ,

абсцисс

Си

x

y = 3(1− cost)

5) лемнискатой r =

.

cos 2ϕ

Решение: 1) На основании формулы (2.7) получим (рис. 2.4)

2

2

x3

2

8

1

S = ∫

(x

+1)dx =

+ x

=

+ 2

− −

−1 =

6 (кв. ед.).

3

3

3

−1

−1

И

Рис. 2.4. Плоская фигура, ограниченная линиями

Д

y = x2 +1; x = −1; x = 2; y = 0

А

1

2) На отрезке

[− 6,−2] функция

f (x) = x отрицательна (рис. 2.5).

Поэтому воспользуемся формулой (2.8):

−2

1 dx

б

S = − ∫

= [− ln

x

]−2 = −(ln 2

− ln 6)

= ln 3 (кв. ед.).

и

−6

−6 x

С

1

И

-4

X

Рис. 2.6. Плоская фигура, ограниченная линиями

б

y = x2

+

4x ; Дx − y + 4 = 0

и

А= 1. Площадь фигуры определяем по

Откуда находим x = −4 ; x

2

формуле (2.10)

1

1

1

[(x + 4)

− (x2 + 4x)]dx =

1

− 3x − x2 )dx

3x

2

x

3

S =

∫

∫

(4

= 4x −

−

=

2

−4

3

1

64

−4

125

3

−4

−

−16 − 24

+

=

(кв. ед.).

= 4 −

2

3

−

3

6

С

4) При изменении x от 0 до 6π параметр t изменяется от 0 до 2π

′

3(1− cos t) и по формуле (2.11) получаем

(рис. 2.7). Находим x(t) =

2π

2π

(1− cost)2 dt =

2π

2cost + cos2 t)dt =

S =

∫

3(1− cost)3(1− cost)dt = 9

∫

9

∫ (1−

0

0

0

2π

= 9

2π

1+ cos 2t

3

t − 2sin t +

sin 2t

∫

1− 2cos t +

2

dt =

9

2

4

= 27π (кв.ед.).

0

0

искомой площади (рис. 2.8).

π

Д

Рис. 2.8. Лемниската

По формуле (2.12) находим

И

1 π

/ 4

π / 4

S = 4

∫ cos 2ϕ dϕ

= sin 2ϕ

= 1 (кв.ед.).

2

б

0

0

и

Задач

для самостоятельнойА

работы

С

Найти площади ф гур, ограниченных линиями:

148.

y = −4x ; x = −3;

x = −1; y = 0 .

149.

2x − y + 3 = 0;

x = 0;

y = 0 ; x = 4.

150.

y = e−2x ; x = −

1 ;

x = 1; y = 0 .

2

151.

y = arcsin x ; y = π / 4 ;

y = π / 3;

x = 0.

152.

y = 2x ;

y = 5x ; x = 2;

x = 6 .

153.

y = 3 ;

x + y − 4 = 0.

x

154.

y = 8x − x2 ; y = x2 +18x −12.

155.

y = 6x2 ; y = 2x3 .