Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1715.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

1.3. Интегрирование способом подстановки

Во многих случаях удается введением новой переменной свести данный интеграл ∫ f (x)dx к новому интегралу, который может быть

вычислен непосредственно или легко вычисляется другим способом. Замена переменной в неопределённом интеграле производится с

помощью подстановок двух типов:

1) x = ϕ(t), где t − новая переменная; ϕ(t) − непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены

переменной имеет вид

∫ f (x)dx =

′

∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt .

Функцию ϕ(t) стараются выбрать таким образом, чтобы правая

часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид.

2) t =ψ (x),

где t

− новая переменная. Тогда формула замены

переменной приобретает вид

′

(t)dt .

∫ f (ψ (x))ψ (x)dx = ∫ f

Такого рода преобразование

называют

подведением

под знак

дифференциала.

Примеры решения задач

Проинтегрировать:

1) ∫ sin 2xdx ;

2) ∫

dx ;

3) ∫

xdx

;

∫

exdx

;

5x − 3

9 + e2x

cos 3

иdx

1+ x4

dx ; 6)

5) ∫ 3

∫

1+ x2

Решение: 1) Данный интеграл окажется табличным, если под

знаком дифференциала будет стоять аргумент 2x подынтегральной функции sin 2x . Так как d(2x)= 2dx , то

∫sin 2xdx = 12 ∫ sin 2xd(2x) = − 12 cos 2x + C .

2)Так как d(5x − 3) = 5dx , то

∫5x − 3dx = 1 ∫ (5x − 3)1/ 2 d(5x − 3) = 2(5x − 3)3/ 2 + C . 5 15

3)Замечаем, что (x2 )= 2xdx . Тогдаd

xdx

(x2 )

∫

+ 1+ x

+ C .

1+ x4

1+ (x2 )2

4) Поскольку d(ex ) = exdx , имеем

∫

exdx

= ∫

d(ex )

arctg

+ C .

9 + e2x

5) Используем подстановку t = 3

. Следовательно,

t = 3

cos 3 x

cost

∫

dx =

x = t

= ∫

dt =

3∫ costdt = 3sin t + C =

dx = 3t2dt

=3sin 3x + C .

6)Применим подстановку t = 1x , имеем

Иdt

x = t dt

tdt

= −

∫

= −∫

x 1

+ x

Д1+ t

+ t

1+ t

1+ x

+ С = −ln

1 +

= −ln

t +

1+ t2

+ C =

= −ln

1+ 1

+ x2

+ C и= ln

+ C .

1+ x

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

25. ∫ cos5xdx .

26.

−

27.

∫ (12x − 5)7 dx .

∫ sin

3x dx .

28. ∫

29. ∫

30. ∫ e4−3xdx .

6x + 5

11− 4x

31. ∫ 65x+2 dx .

32.

∫

33.

∫

16 +

25x2

25 −

9x2

35.

dx .

36.

∫

dx .

34.

∫ x x

− 7dx .

∫

(ex − 5)3

3 1− x3

37.

∫

xdx

38.

∫

2x +1

dx .

39. ∫

6x − 5

dx .

x2 + x − 3

3x2

− 5x

+ 4

x2 + 6

40.

∫

dx .

41. ∫ tgxdx .

42.

∫

(6 + 3

)4 3

2ex + 7

43.

∫

44.

ln5 x

dx .

45.

∫ x

2 1− x3

dx .

x ln x

∫

cos x

dx .

46.

∫ sin x cos2 xdx .

47.

∫

dx .

48.

∫

5tgx

cos2 x

3 sin x

xdx .

1− 4arcsin

49.

∫

50.

∫

51.

∫

arctgx

dx .

7 ctg

x sin

1− x2

1+ x2

52. ∫

cos xdx .

53.

∫ e4 cos x−1 sin xdx .

54.

cos x

dx .

1− 2sin x

∫

+ sin2 x

55.

dx .

56.

dx .

∫

57.

∫

sin2 x4

+ 4

x +1

Дdx

ex −1dx

58.

∫

59. ∫

x + 5

(подстановка

ex −1 = t2 ).

А(подстановка x + 5 = t

1.4. Интегр рование по частям

− дифференцируемые функции, то

Если u = ϕ(x) и v

=ψ (x)

∫ udv = uv − ∫ vdu .

(1.1)

Формула (1.1)Сназывается формулой интегрирования по частям.

Она

даёт

возможность

свести

вычисление интеграла

∫ udv к

вычислению интеграла ∫ vdu , который оказывается более простым. При нахождении интегралов типа

∫ P(x) eaxdx , ∫ P(x)sin axdx , ∫ P(x)cos axdx

за u следует принять многочлен P(x), а за dv − соответственно выражения eaxdx , sin axdx , cosaxdx ; при отыскании интегралов вида

∫P(x)ln xdx , ∫ P(x)arcsin xdx , ∫ P(x)arccos xdx ,

∫P(x)arctgxdx , ∫ P(x)arcctgxdx

за u принимаются соответственно функции

ln x , arcsin x , arccos x ,

arctgx , arcctgx , а за dv − выражение P(x)dx .

Примеры решения задач

Проинтегрировать:

3) ∫ x2e4xdx ;

1) ∫ (4x3 + 6x − 7)ln xdx ;

2) ∫ (x − 3)cos xdx ;

4) ∫ x arctg x dx ; 5) ∫ e− x sin xdx .

Решение: 1) Воспользуемся формулой интегрирования по

частям, имеем

u = ln x

du = dx

∫ (4x

+ 6x − 7)ln xdx =

= (x

+ 3x

−

7x)ln x −

dv = (4x3 + 6x − 7)dx

v = x4 + 3x2

− 7x

+ 3x

− 7x

− ∫

dx = (x

+ 3x

− 7x)ln x −

− 7x

+ C .

u = x − 3

2) ∫ (x − 3)cos xdx =

= dx

= (x − 3)sin x − ∫ sin xdx =

dv = cos xdx

v = sin x

= (x − 3)sin x + cos x + C .

иu = x

3) ∫ x2e4xdx =

du = 2xdx

= 1 x2e4x − 1

∫ xe4xdx .

dv = e

Кпоследнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.4xv e

	u = x
	u = x
∫ xe4xdx =	du = dx				=	1 xe4x −	1	∫ e4xdx =	1 xe4x −		1	e4x .
	dv = e4xdx						1				1
	dv = e4xdx						4			16
		1		4x		4	4		4	16
	v =	1	e	4x
	v =	4	e
		4

Подставляя найденное выражение в первоначальное выражение, имеем

∫ x

dx =

−

+ C =

−

+ C .

u = arcctgx

du = −

4) ∫ xarcctgxdx =

1+ x2

arcctgx +

∫

dx =

1+ x2

dv = xdx

+1−

arcctgx +

∫

arcctgx +

∫ dx − ∫

+ x2

1+ x2

arcctgx +

x −

arctgx + C .

u = e−x

−x

du = −e−xdx

−x

∫ e

sin xdx =

dv = sin xdx

= −e

cos xИ− ∫ e cos xdx .

− x

= −cos x

К последнему интегралу снова применяем формулу

интегрирования по частям.

u = e− x

du = −e

= e− x sin x + ∫ e− x sin xdx .

∫ e− x cos xdx =

иdv = cos xdx

v = sin x

Таким образом,

∫ e− x sin xdx = −e− x cos x − (e− x sin x + ∫ e− x sin xdx)=

=−e− x cos x − e− x sin x − ∫ e− x sin xdx .

Вправой части последнего соотношения стоит искомый интеграл

∫e− x sin xdx . Перенося его в левую часть, получим

2∫ e− x sin xdx = −e− x cos x − e− x sin x .

Откуда

∫ e− x sin xdx = − e2− x (cos x + sin x)+ C .

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.61 Mб01710.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01711.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01712.pdf
#
07.01.20211.62 Mб11713.pdf
#
07.01.20211.62 Mб91714.pdf
#
07.01.20211.62 Mб21715.pdf
#
07.01.20211.62 Mб41716.pdf
#
07.01.20211.63 Mб01717.pdf
#
07.01.20211.63 Mб01718.pdf
#
07.01.20211.63 Mб321719.pdf
#
07.01.2021324.91 Кб1172.pdf