- •Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •1.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства
- •1.2. Непосредственное интегрирование
- •1.3. Интегрирование способом подстановки
- •1.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7. Интегрирование тригонометрических функций
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •Глава 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1. Приёмы вычисления определённого интеграла
- •2.2.1. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Длина дуги кривой
- •Объём тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •2.2.2. Физические приложения определенного интеграла
- •Масса стержня
- •Работа при протекании различных процессов
- •Путь, пройденный телом
- •Координаты центра тяжести плоской фигуры
- •Сила давления жидкости
- •2.3. Несобственные интегралы
- •Разноуровневые задания
- •Задания репродуктивного уровня
- •Задания реконструктивного уровня
- •Задания творческого уровня
- •Расчетно-графическая работа
- •Тестовые задания
- •Критерии оценки знаний и умений по разделу «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной»
- •Ответы
- •Библиографический список
Глава 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. Приёмы вычисления определённого интеграла
Пусть функция |
y = f (x) |
определена и непрерывна на отрезке |
||||||
[a,b]. |
Разобьём |
отрезок |
[a,b] на |
|
n |
частей точками |
||
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . |
Выберем на |
каждом |
элементарном |
|||||
отрезке |
[xi−1, xi ] произвольную точку |
ξi |
и |
обозначим |
через |
|||
∆xi = xi |
− xi−1 длину каждого такого отрезка. |
Интегральной суммой |
||||||
для функции y = f (x) на отрезке [a,b] называется сумма вида |
|
|||||||
|
n |
= f (ξ1)∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + ... + f (ξn )∆xn . |
|
|||||
|
∑ f (ξi )∆xi |
(2.1) |
||||||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
на отрезке [a,b] |
|
Определённым интегралом от функции y = f (x) |
называется предел интегральной суммы (2.1) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
b |
|
n |
|
|
∫ f (x)dx = |
lim |
∑ f (ξi )∆xi . |
(2.2) |
|
a |
max ∆xi |
→0i =1 |
И |
|
|
Если |
функция |
|
y = f (x) |
непрерывна на отрезке |
[a,b], то |
предел (2.2) существует и не зависитДот способа разбиения отрезка |
||||||
[a,b] на |
элементарные отрезки и от выбора точек ξi |
(теорема |
||||
|
|
|
и |
|
|
|
существования определённого интегралаА). |
|
|||||
|
a |
bС |
|
|
||
|
|
Основные свойствабопределённого интеграла |
|
|||
1. |
a∫ f (x)dx = 0. |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
2. |
b∫ f (x)dx = −a∫ f (x)dx . |
|
|
|||
3. |
b∫ f (x)dx = c∫ f (x)dx + b∫ f (x)dx . |
|
|
|||
|
a |
a |
|
c |
|
|
4. |
b∫ k f (x)dx = kb∫ f (x)dx . |
|
|
|||
|
a |
a |
|
|
|
|
5. |
b∫ [f (x)± g(x)]dx = b∫ f (x)dx ± b∫ g(x)dx . |
|
||||
|
a |
|
a |
a |
|
|
6. x [a,b] f (x)≥ g(x) b∫ f (x)dx ≥ b∫ g(x)dx . |
|
|||||
|
|
|
|
a |
a |
|
31
7. Если функция |
f (x) |
непрерывна |
на [a,b], |
то на этом |
отрезке |
|
|
|
b |
|
c [a,b] |
существует точка |
c, |
такая что |
∫ f (x)dx = |
f (c)(b − a), |
a
(теорема о среднем).
Для вычисления определенного интеграла от функции y = f (x) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл F(x), служит формула Ньютона−Лейбница
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b∫ f (x)dx = F(b)− F(a), |
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||||
где F (x)= f (x). |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной в определённом интеграле |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
b |
|
|
||||
|
|
Пусть |
для |
вычисления |
|
определённого |
|
интеграла |
∫ f (x)dx от |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
a |
|
|
||||
непрерывной функции сделана подстановка |
|
x = ϕ(t). Если функция |
|||||||||||||||||||||||||
ϕ(t) |
|
и её производная ϕ (t) |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
причём |
|||||||||||||||
|
|
непрерывны на отрезке [α, β ], |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = ϕ(α) |
и b = ϕ(β ) , то справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f (x)dx |
|
β |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
= ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегр рован е по частям в определённом интеграле |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Интегрирование по частям в определённом интеграле |
|||||||||||||||||||||||||
осуществляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b − |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ u(x)dv = u(x)v(x) |
∫ v(x)du, |
|
(2.5) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
где u(x) |
и v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,b]. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Вычислить интегралы: 1) |
2 |
4dx ; 2) |
4 |
|
|
|
|
e2 |
ln xdx |
; |
|||||||||||||||
|
|
∫ 5x |
∫ (3x − ex / 4 )dx |
; 3) ∫ |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
e |
|
||||
8 |
|
|
|
|
|
2 ln 2 |
|
π |
x cos xdx ; 7) |
e ln x |
dx. |
|
|
|
|||||||||||||
4) ∫ |
|
|
|
|
|
|
; 5) |
|
∫ |
|
|
|
|
; 6) |
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x +1 |
|
|
ex |
−1 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
ln 2 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
32
Решение: 1) По формуле Ньютона–Лейбница (2.3)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
dx = x |
5 |
|
2 |
|
= 2 |
5 |
− |
5 |
= |
32 −1 = 31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 5x |
|
|
dx = 5∫ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2) На основании формулы (2.3) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x / 4 |
|
|
|
= (24 − 4e) − (0 − 4) = 28 − 4e. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ (3x |
− e |
)dx |
|
|
|
|
|
4e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3) |
e2 |
ln xdx |
= |
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln x)2 |
|
e2 |
|
|
(ln e2 )2 |
|
− |
(ln e) |
2 |
= 2 − |
1 |
= |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
x |
|
|
|
∫ ln xd(ln x) = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4) |
|
|
Введем |
|
|
новую |
|
переменную, полагая |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Отсюда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находим t2 = x +1; 2tdt = dx . При x = 3 имеем t |
|
|
|
|
|
|
= 2; при x = 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 3 +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем t = 8 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= 3. Используя формулу замены переменной (2.4), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
−12tdt = 2∫ (t2 −1)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
= ∫ t |
|
|
= 2 t |
|
|
|
|
− t |
|
|
|
= 2 |
|
− 3 |
− |
|
|
− 2 |
|
|
= |
10 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x +1 2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ln |
|
1+ t2 |
|
|
|
|
dx = |
2tdt |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5) |
|
Полагаем |
|
t = |
|
ex −1 |
. |
|
Тогда |
|
|
; |
|
|
Если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x = ln 2 , то t = 1; если |
x = 2ln 2 , то t |
= |
|
3 |
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Аdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2arctgt |
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
− |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
2 ) |
|
∫ |
|
1+ t2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
ex |
−1 |
|
|
1 |
|
|
t(1+ t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
6) |
|
|
Положим |
|
|
|
u = x ; |
|
dv = cos xdx . |
|
|
Тогда |
|
|
du = dx ; |
v = sin x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Применяя формулу интегрирования по частям (2.5), найдём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x cos xdx = x sin x |
|
π |
|
− ∫ sin xdx = π sinπ − 0sin 0 + [cos x |
]π |
= cosπ − cos0 = −2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
dv = |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = 2 |
x . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7) |
|
Положим |
|
u |
= ln x ; |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
откуда |
|
|
du = |
|
x |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
согласно формуле (2.5) |
|
x dx = 2 |
|
e ln e − 2 |
1ln1− 4[ |
x ]1e |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ ln x dx = [2 |
|
|
x ln x]1e− ∫ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2e − (4e − 4) = 2(2 − e).
33
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить определённые интегралы:
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x + 5 − 7x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
127. |
|
xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
128. |
∫ |
4x − |
|
|
|
|
|
dx . |
129. |
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
130. |
∫ sin 3xdx . |
|
|
|
131. |
|
|
|
|
|
|
∫ cos3x cos5xdx . |
132. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 − x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
−π / 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
133. |
π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
134. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
135. |
1/ 2 |
|
|
3 |
x |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π / 6 sin |
|
|
|
|
|
|
|
1 (1+ 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1/ 2 1+ 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln 3 |
|
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
136. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138. |
sin |
|
3 |
x cos |
4 |
xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
/ 4 − arcsin |
x |
|
|
|
|
∫ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137. |
2 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln 2 |
|
|
|
|
e |
2x |
−1 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
99 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
139. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
141. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140. |
1− x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
153 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 + 9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
142. |
∫ xe |
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
143. |
|
∫ (x −1)cos xdx . |
И |
|
|
x |
2 |
|
ln xdx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
145. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147. |
0 |
|
(2x + 3)e |
− x |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ arccos xdx . |
|
|
|
∫ (1 |
− x)sinπxdx . |
|
∫ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
А |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Пр ложен я определенного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Обозначим общую схему применения определенного интеграла к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решению задач. |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Итак, пусть требуется найти значение некоторой геометрической |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или физической величины А (это может быть площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину, путь, пройденный телом), связанной с отрезком изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А обладает
свойством аддитивности (от лат. «additivus» − прибавляемый), то есть при разбиении отрезка [a b;] точкой с (a;b) на части [a c;] и [c;b]
значение величины А, соответствующее всему отрезку [a b;], равно сумме ее значений, соответствующих [a c;] и [c;b].
Для нахождения величины А опишем метод интегральных сумм. Именно на этом методе в дальнейшем основывается вывод ряда формул, используемых для нахождения многих физических величин.
34
Метод интегральных сумм базируется на определении определенного интеграла, приведенного выше (см. п. 2.1).
1. Произвольным образом точками x0 = a, x1, x2 , x3,..., xn−1, xn = b отрезок [a b;] разбиваем на n частей – n частичных отрезков [xi −1; xi ], i = 1,2,..., n . Длину каждого частичного отрезка обозначим
∆xi = xi − xi−1 .
2. Внутри каждого частичного отрезка [xi −1; xi ], i = 1,2,..., n , произвольным образом выбираем точку сi .
3. Находим значение определяемой из условия задачи функции f (x) в точке сi , то есть значение f (сi ) . Умножаем это значение на
длину ∆xi соответствующего частичного отрезка [xi −1; xi ], |
i = 1,2,..., n . |
||||||||||
В результате получаем n произведений вида Ai = f |
(ci ) ∆xi . |
|
|||||||||
4. Составим |
|
сумму |
|
всех |
И |
произведений: |
|||||
|
|
таких |
|
||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
Àn = A1 + A2 + ... + An = ∑ Ai = |
∑ f (ci ) ∆xi |
− интегральная сумма. |
|||||||||
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
5. Заметим, |
что |
при |
нахождении величины Ai допустимы |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
А |
|
|
|
|
|
некоторые упрощения. Например, дугу на малом участке можно |
|||||||||||
заменить хордой, |
стягивающей ее концы; переменную скорость на |
||||||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
||
малом участке пути можно приближенноДсчитать постоянной, так же |
|||||||||||
как и силу, действующую на движущуюся материальную точку. В |
|||||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||
связи с чем величина |
A |
дает при лиженное значение величины А: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ≈ An = ∑ f (ci ) ∆xi . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
6. Точное значен е вел чины А равно пределу интегральной |
|||||||||||
суммы |
An при условии, что длина наибольшего частичного отрезка |
||||||||||
[xi −1; xi ] |
стремится к нулю при неограниченном увеличении числа |
||||||||||
частичных отрезковС(при n → ∞ ). |
|
b |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
An = |
|
|
n |
|
|
|
|
|
A = |
lim |
|
|
lim |
∑ f (ci )∆xi = ∫ f (x)dx . |
(2.6) |
||||
|
max ∆xi →0 |
|
max ∆xi →0 i =1 |
a |
|
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
Заметим, что указанный метод интегральных сумм основан на представлении интеграла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.
Итак, проследим, каким же образом данная схема может быть применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.
35