- •Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •1.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства
- •1.2. Непосредственное интегрирование
- •1.3. Интегрирование способом подстановки
- •1.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7. Интегрирование тригонометрических функций
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •Глава 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1. Приёмы вычисления определённого интеграла
- •2.2.1. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Длина дуги кривой
- •Объём тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •2.2.2. Физические приложения определенного интеграла
- •Масса стержня
- •Работа при протекании различных процессов
- •Путь, пройденный телом
- •Координаты центра тяжести плоской фигуры
- •Сила давления жидкости
- •2.3. Несобственные интегралы
- •Разноуровневые задания
- •Задания репродуктивного уровня
- •Задания реконструктивного уровня
- •Задания творческого уровня
- •Расчетно-графическая работа
- •Тестовые задания
- •Критерии оценки знаний и умений по разделу «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной»
- •Ответы
- •Библиографический список
х = 4cost;
y = 6sint.
х = 8cos3 t;
3
y = 8sin t.
158.r = 2a(1+ cosϕ).
159.r = a sin 3ϕ.
160.r2 = a2 sin 4ϕ.
Длина дуги кривой
Если кривая на плоскости задана уравнением y = f (x), то длина
дуги этой кривой, заключённой между точками с абсциссами x = a и x = b, находится по формуле
|
b |
|
|
|
|
1+ f ′2 (x)dx . |
|
||
|
l = ∫ |
(2.13) |
||
В том случае, |
a |
кривая заданаИпараметрическими |
||
когда |
||||
x = x(t); |
[ x(t) и |
y(t) − непрерывно дифференцируемые |
||
уравнениями |
||||
y = y(t) |
|
Д |
|
|
|
|
|
|
функции], то длина дуги кривой, соответствующей монотонному |
||||||||||
изменению параметра t |
от α |
доАβ , вычисляется по формуле |
|
|||||||
|
б′ |
|
′ |
|
|
|
|
|||
С |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
l = |
∫ x |
2 |
(t)+ y |
|
2 |
(t)dt . |
(2.14) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если кривая заданаив полярных координатах r = r(ϕ), |
то длина |
дуги кривой, соответствующей монотонному изменению полярного
угла от ϕ1 |
до ϕ2 , находится по формуле |
|
|||||
|
|
|
|
ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
l |
r2 + r′2 dϕ . |
(2.15) |
||
|
|
|
= ∫ |
||||
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|||
|
Найти длину дуги кривой: |
|
|
|
|||
1) |
y = ex / 2 + e− x / 2 ; 0 ≤ x ≤ 2; |
|
|
|
|||
2) |
x = 3(t − sin t); |
0 ≤ t ≤ π |
; |
|
|
|
|
|
− cost), |
|
|
|
|||
|
y = 3(1 |
|
|
|
|
|
|
3) |
r = a(1+ cosϕ). |
|
|
|
|
|
43
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x / 2 |
|
− x / 2 |
|
|||
Решение: 1) Производная функции |
|
y : y′ = 2 |
(e |
|
|
|
− e |
|
|
), откуда |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex + 2 + e− x |
|
|
|
ex / 2 |
+ e− x / 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
− x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1+ f |
′2 |
(x) = |
1 |
(e |
− 2 + e |
) = |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
= |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
и, следовательно, по формуле (2.13) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
x / 2 |
|
−x / 2 |
dx = (ex / 2 − e− x / 2 ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
l = ∫ e |
|
|
+ e |
|
|
|
|
= e − |
1 |
(ед.). |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
3sin t , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Так как x (t) = 3(1− cos t) ; y |
(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
x′2 (t) + y′2 (t) = 9(1− cos t)2 + 9sin2 t = 32(1− cos t) = 6sin 2t .
По формуле (2.14) получим
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
π |
|
|
|
π |
И |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l = 6 |
∫ sin |
|
dt |
= −12cos |
|
|
|
= −12cos |
|
+12cos 0 = 12 |
(ед.). |
|
||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Изменяя |
||||||||||||||||||||||||||
полярный угол от 0 до |
|
|
|
|
|
Д |
|
|
||||||||||||||||||
π , получим половину длины кардиоиды. Так |
||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
как r |
= asinϕ , следовательно, по формуле (2.15) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
l = 2 |
∫ |
|
[a(1+ cosϕ)]2 + [asinϕ]2 dϕ = 2a∫ |
2(1+ cosϕ)dϕ = 4a∫ cos ϕ dϕ = |
||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
0 |
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 8a sin |
ϕ |
|
|
= 8a sin |
π |
|
− 8asin 0 = 8a. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сπ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельной работы |
|
|
|||||||||||||
Вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
161. |
y2 = x3 ; 0 ≤ x ≤ 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
162. |
y = ln sin x ; |
3 ≤ x ≤ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
163. 2y = x2 − 3 между точками пересечения с осью ОХ. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
= t |
3 |
− t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
164. |
x |
|
1 ≤ t ≤ 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
+ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= t |
6 |
6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
165. |
x |
|
|
между точками пересечения с осями координат. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− t |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
166.r = 5sinϕ.
167.r = sin3 ϕ3 ; 0 ≤ ϕ ≤ π4 .
Объём тела вращения
Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ (или оси ОУ) криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x = a и x = b, находится по
формулам |
= π b∫ f 2 (x)dx ; |
|
|
||
V |
|
(2.16) |
|||
OX |
a |
|
|
|
|
|
b |
|
И |
|
|
VOY |
|
|
|
||
= 2π |
∫ xf (x)dx. |
|
(2.17) |
||
|
|
a |
Д |
|
|
|
|
|
|
||
Примеры решения задач |
|
1) Вычислить объём тела, которое получается при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой
xy = 4 , прямыми x = 3; x = 12 и осью абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение: Пользуясь формулой (2.16), находим |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
и |
А12 |
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
4 |
|
12dx |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
VOX = π ∫ |
|
dx = |
16π ∫ |
|
= −16π |
|
= −16π |
|
|
− |
|
= 4π |
(куб. ед.). |
|
|
|
С |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
3 xбx 3 |
|
12 |
|
3 |
|
|
||||||
2) Вычислить |
объём |
тела, которое получается |
при |
вращении |
вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной параболой
y = x2 , прямыми x = 0; |
x = 2 и осью абсцисс. |
|
|
||||
Решение: По формуле (2.17) получим |
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
x4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
VOY = 2π ∫ x x2dx = 2π ∫ x3dx = 2π |
|
|
|
|
= 8π |
(куб. ед.). |
|
4 |
|
|
0 |
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг оси ОХ:
168. y = sin x , 0 ≤ x ≤ π . |
169. y = x3 − 4x , y = 0. |
45
170. x2 − y2 = 1, x = 3. |
171. y2 = 4x , y = x . |
172. y = x2 , y2 = 8x.
Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг оси ОУ:
173. |
|
y = sin x , 0 ≤ x ≤ π , |
y = 0. |
|
|
174. |
y2 = x3 , |
x = 1, |
y = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
175. |
|
y = ex , |
y = 0 , x = 0, x = 1. |
|
|
176. |
y2 = 4x , |
x = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь поверхности вращения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дуги кривой |
|
y = f (x) между точками |
|
x = a |
и |
x = b, |
находится по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2π b∫ f (x) |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SOX |
|
1+ f ′2 (x) |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.18) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
a |
|
|
|
|
Д1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Найти |
площадь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
оси |
ОХ дуги |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
поверхности |
|
вращения |
вокруг |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
кубической параболы y |
= x |
|
при 0 ≤ x ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
OX |
Решение: |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
y = 3x |
|
. |
Следовательно, |
по |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Дифференц руя, имеем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (2.18) наход м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
π |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
S |
|
|
= 2π ∫ x |
1 |
+ 9x |
dx = |
|
|
|
|
∫ 1+ 9x |
d(1+ 9x |
) = |
|
|
(1+ 9x |
) |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
С |
|
18 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
61π |
|
(кв.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
− |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
64 |
1728 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси ОХ дуг кривых:
177.y2 = 4ax , 0 ≤ x ≤ 8.
178.y = 3x , 1 ≤ x ≤ 3.
179.Одной волны косинусоиды y = cos x .
180.y2 = 3 + x , отсечённой прямой x = 3.
46