1 = A + C A = 1− C =

4 .

Поэтому

5

∫

x2 + 2x + 2

dx =

4

∫

dx

+ 2∫

dx

+

1

∫

dx

=

x3 − x2 − 8x

+12

5

(x

− 2)

(x − 2)2

5

(x +

3)

=

4 ln

x − 2

−

2

+ 1 ln

x + 3

+ C .

x − 2

5

5

Находим искомый интеграл

x4

− 3x2 − 5x2 + 30x − 22

dx =

x

2

− 2x +

4

ln

x − 2

−

2

+

1

ln

x + 3

+ C .

∫

x3 − x2 − 8x +12

2

5

x − 2

5

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

x2 − 72

84. ∫

3x + 8

dx .

85.

∫

5x

−

10

−

x

2

dx .

86. ∫

dx .

(x

− 2)(x + 5)

x2 − 4x + 3

x(x + 4)(x − 3)

И

x

4

−16x

3

+

5x + 8

3x +1

x

2

+ 5x +

9

87. ∫

dx .

88.

∫

dx .

89. ∫

dx .

(x

2

− 5)

3

x3 −16x

+ 3) (x

(x − 2)

x3

−10x + 25

Д

(4x2 − 5x

+

9)dx

4

3

2

90.

∫

dx .

91.

∫

(x

2

+13)(x

+1)

.

92. ∫ 5x

− x3

+

4x

+

8dx .

x

2

2

− 4x

(x − 5)

x

−8

А

x3

+ x −1

(x3

−12x2

− 3x)dx

(x3 +1)dx

93.

∫

dx .

94.б∫

dx .

95. ∫

.

(x2

− 4x + 5)2

(x

2

+ 2)2

2)(x2 −1)

(x

2

− 2x

+

и

1.7. Интегрирование тригонометрических функций

1) ИнтегралыСвида

∫ sinm x cosn xdx ,

(1.4)

где m и n − целые числа.

Рассмотрим следующие случаи:

а)

Если m − нечётное,

то применяется

подстановка

t = cos x ;

n − нечётное, то подстановка t = sin x .

б)

Если

n

и

m

−

чётные

неотрицательные

числа,

то

sin2 x =

1− cos 2x ; cos2 x =

1+ cos 2x ;

sin x cos x = 1 sin 2x .

2

2

2

в) Если n и m − либо оба чётные, либо оба нечётные, причём

хотя бы один

из

них отрицателен,

то

применяют

подстановку

t = tgx (или t = ctgx).

2) Интегралы вида

∫ R(sin x,cos x)dx ,

(1.5)

где R − рациональная функция.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки

t = tg

x

,

2t

1− t

2

2

2dt

откуда sin x =

;

cos x

=

; dx =

,

интегралы вида (1.5)

1+ t2

1+ t2

И

1+ t2

приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций.

3) Интегралы вида

Д

∫ sin mx cos nxdx , ∫ cos mx cos nxdx

,

∫ sin mxsin nxdx .

(1.6)

Интегрируются на основании тригонометрических формул:

1

А

sin mx cos nx

=

[sin(m + n)x + sin(m − n)x];

2

б

cos mx cos nx

=

1

[cos(m + n)x + cos(m − n)x];

и

2

sin mx sin nx = 1 [cos(m − n)x − cos(m + n)x];

cos(− x)

2

= cos x ; sin(− x)= −sin x .

Примеры решения задач

С

cos3 x

10

x sin

3

xdx ;

Проинтегрировать:

1)

∫

sin6 x dx ;

2)

∫ cos

3)

∫

sin3 xdx

;

4)

∫ sin

2

x cos

4

xdx ;

5)

∫

sin2

x

dx ;

6)

∫

dx

;

4 + cos x

cos6

x

sin3

x

dx

7)

∫

; 8) ∫ sin 2x sin 3xdx .

3 + 5cos x

Решение:

1) Применим подстановку

sin x = t и воспользуемся

∫ cos3 x dx =

∫ cos2 x cos xdx = ∫ (1− sin2 x) cos xdx =

sin x = t

=

sin6 x

sin6 x

sin6 x

cos xdx = dt

1

− t2

1

1

1

1

1

1

=

∫

dt = =

∫

−

dt = −

+

+ C = −

+

+ C.

t6

t4

5t5

3t3

5sin5 x

3sin3 x

t6

2) Воспользуемся подстановкой cos x = t . Имеем

∫ cos10 x sin3 xdx = ∫ cos10 x sin2 x sin xdx = ∫ cos10 x (1− cos2 x)sin xdx =

=

cos x = t

= −

∫ t

10 (1− t2 )dt = −∫ t10dt + ∫ t12dt = − t

11

+ t

13

+ C =

− sin xdx = dt

11

13

= − cos11 x + cos13 x

+ C.

11

13

3) Подынтегральная функция нечётна относительно синуса,

поэтому сделаем подстановку cos x = t . Тогда

cos x = t

∫ sin

3

xdx = ∫

sin

2

x

sin xdx = ∫ 1− cos

2

x sin xdx =

=

4 + cos x

4 + cos x

4

Д

− sin xdx = dt

+ cos x

1− t2

15

t

2

Иt + 4 + C =

= −∫

dt

= ∫ t − 4

+

А

4 + t

t +

4

dt =

2

−

4t

+15ln