Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1715.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Ax + B

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

60. ∫ (x − 7)sin xdx . 63. ∫ x2 ln xdx .

66. ∫ (x + 2)3x dx.

69.∫ arcsin x dx .

72. ∫ 4x sin xdx .

61.	∫ (1− 3x)cos 2xdx .				62.	∫ x2 cos xdx .
64.	∫	x		dx .	65.	∫ (4 − x)e−3xdx .
		cos2	x
						∫ ln(1+ x2 )dx .
67.	∫ (x2 − 6x)e− xdx .				68.
70.	∫ arctgxdx .				71.	∫ e2x cos xdx .
73.	∫ cos							= t ).
			xdx (подстановка				x

1.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен

1. Интегралы вида ∫ ax2 + bx + c dx . Основной приём вычисления −

Ax + B

2. Интегралы

вида

∫

dx . Следует

выделить полный

ax2 + bx + c

квадрат из квадратного трёхчленаАподкоренного выражения и

разложить на сумму двух

нтегралов.

Пр меры решения задач

Проинтегрировать: 1) ∫

;

2) ∫

(3x + 5)dx

;

x2 + 2x

+ 5

x2 + 2x +10

xdx

∫

; 4) ∫

3 − x − 2x2

x2 + 4x + 5

Решение: 1) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

x2 + 2x + 5 = (x2 + 2x +1) −1+ 5 = (x +1)2 + 4 .

Отсюда находим

∫

=∫

d(x +1)

= 1 arctg

x +1

+ C .

x2 + 2x + 5

(x +1)2 + 4

выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена, стоящего в
знаменателе, и разложение полученного интегралаИ	на сумму двух
интегралов.

2)Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена, получаем

x2 + 2x +10 = (x2 + 2x +1) −1+10 = (x +1)2 + 9.

Следовательно,

∫	(3x + 5)dx	= ∫	(3x + 5)dx
	x2 + 2x +10		(x +1)2 + 9

t= x +1

=x = t −1 = ∫ 3(t −1) + 5 dt = ∫ 3t + 2 dt = dx = dt t2 + 9 t2 + 9

= 3∫

tdt

+ 2∫

∫

d(t2 + 9)

+ 2∫

3 ln(t2

+ 9) +

t2 + 9

+23 arctg 3t + C == 23 ln(x2 + 2x +10) + 23 arctg x 3+1 + C .

3)Выделяя полный квадрат из квадратного трёхчлена, имеем

3 − x − 2x

= −2 x

−

= −2 x

+ 2

x +

−

= −2

x +

= 2

x +

Отсюда получаем

d x +

∫

= ∫

∫

3 − x − 2x2

1 2

−

x +

А1

4x +1

1/ 4

+ C

+ C .

arcsin

5/ 4

arcsin

4) Прежде всего, выдел м полный квадрат из квадратного

трёхчлена

x2 + 4x + 5 = x2 + 2 2x + 4 − 4 + 5 = (x + 2)2 +1.

Таким образом,

t = x + 2

tdt

∫

xdx

= ∫

xdx

x = t − 2

= ∫

t − 2

dt = ∫

−

x2 + 4x + 5

t2 +1

(x + 2)2 +1

dx = dt

∫ d(

t2 +1

)

− 2∫

− 2ln

t +

t2 +1

+ C =

t2 +1

= x2 + 4x + 5 − 2ln x + 2 + x2 + 4x + 5 + C .

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

74.	∫		dx				.	75.	∫
74.	∫	x2 +10x +		34			.	75.	∫
		x2 +10x +		34
76.	∫		dx		.			77.	∫
76.	∫	2x2 + 2x +		5	.			77.	∫
		2x2 + 2x +		5
78.	∫		dx			.		79.	∫

			5 + 4x − x2
			5 + 4x − x2
80.	∫	(x − 4)dx		.				81.	∫
80.	∫	x2 + x −12		.				81.	∫
		x2 + x −12

dx 2 . 6x − 9x −1

xdxx2 .

−2

dx .

x2 +10x + 28

(26x −1)dx . x − 4x +13

82. ∫

3x − 5

dx .

83. ∫

7 − x

dx .

+ 6x + 20

+ 2x − x2

1.6. Интегрирование рациональных дробей

1. Простейшие дроби и их интегрированиеИ.

Определение. Дробно-рациональной

функцией (рациональной

многочлены степеней n и m соответственно, называется правильной, если n < m . Если n ≥ m , то дробь неправильная.

дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов,

Pn (x)

P (x),

(x)

т.е. f (x) =

где

− многочлены степеней

n и

Qm (x)

соответственно.

Pn (x)

Определение.

Pn (x),

Qm (x)

Рац

ональная дробь

, где

−

Qm (x)

Простейшими рациональными дробями называются дроби,

приводящиеся к следующим типам:


		A
I.			.
	(x − a)
II.		A		, n ≠ 1.
		(x − a)n
		M x + N
III.		(x2 + px + q).

IV.	M x + N	,	n ≠ 1,	x2 + px + q = 0 − не имеет действитель-
	(x2 + px + q)n

ных корней.

Простейшие дроби интегрируются следующим образом:

∫

dx = A∫

d(x − a)

=Aln

x − a

+ C ;

x − a

−n

∫

dx = A∫ (x − a)

d(x

− a) = −

+ C .

(x − a)n

n −1

(x − a)n−1

Интегрирование простейшей дроби III типа было рассмотрено

в подр. 1.4.

Для интегрирования простейшей дроби IV типа выделить полный

квадрат

из

квадратного

трёхчлена

в знаменателе

дроби,

т.е.

p 2

+ px + q = x +

+ q −

. Сделать

подстановку

t = x +

разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: первый

интеграл интегрируется непосредственно, второй интеграл − с помощью рекуррентной формулы

Д+ (2n

− 3)∫

. (1.2)

∫

2(n −1)k 2

+ k

2 n−1

+ k

n−1

)

2. Разложен е

прав льной рациональной дроби на сумму

простейших дробей.

Pn (x)

Любая правильная рациональная дробь

Qm (x)

может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Если знаменатель записать в виде произведения неповторяющихся линейных и квадратных множителей

Q (x)= (x − a )k1 ...

(x − a

)kn (x2

+ p x + q )r ,

где k1,k2 ,...,kn ,r

− натуральные

числа,

то

эту дробь можно

представить в виде следующей суммы простейших дробей:

P (x)

B x

+ C

x + C

+ ... +

. (1.3)

Qm (x)

(x − a1)

(x − a1)k1

(x2 + p1x + q1)

(x2 + p1x + q1)r

Коэффициенты A1, A2 ,..., B1,C1,..., Br ,Cr в разложении находятся с

помощью метода неопределённых коэффициентов. Для этого обе части равенства (1.3) приводят к общему знаменателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x (первый

способ). Не раскрывая скобок, дать аргументу x столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов (второй способ).

Интегрирование

неправильных

рациональных

дробей. Для

нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби

Pn (x)

Qm (x)

следует выделить из неё целую часть, т.е. представить в виде

Pn (x)

= L(x)+

r(x)

Qm (x)

где L(x) − многочлен (целая часть при делении); r(x) − остаток от

деления.

Примеры решения задач

Проинтегрировать: 1)

∫

(5 − 4x)dx

;

∫

(x2 + 6)dx

;

(x +1)(x

x(x −

3)2

− 2)

(x2 − 5x + 9)dx

(x3 + x)dx

− 3x2 − 5x2 + 30x − 22

3) ∫

2 2

; 4) ∫

; 5)И∫ 3 2

dx .

(x −1) (x + 2x + 2)

x − x − 8x +12

+ 2)

Решение: 1)

Представим подынтегральную функцию в виде

суммы простейших дробей, т.е.

5 − 4x

x +1

x − 2

(x +

1)(x − 2)

Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю

и приравнивая после этого ч слители правой и левой частей, получим

5 − 4x = A(x − 2) + B(x +1).

Полагая в полученном тождестве x = 2, имеем

5 − 4 2 = 3B B = −1.

Полагая x = −1, имеем 5 − 4 (−1) = −3A

A = −3.

Таким образом, искомый интеграл

∫

(5 − 4x)dx

= −3∫

− ∫

= −3ln

x +1

− ln

x − 2

+ C .

(x +1)(x − 2)

x +1

x − 2

2) Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.

Разлагая её на сумму простейших дробей, получим

x2 + 6

x(x

− 3)2

− 3

(x − 3)2

Приведём правую часть полученного соотношения к общему знаменателю:

x2 + 6 = A(x − 3)2 + Bx(x − 3) + Cx .

Для нахождения неопределённых коэффициентов будем

комбинировать два вышеизложенных способа.

Полагая x = 3, получим 9 + 6 = 3C

C = 5.

При x = 0 имеем 6 = 9A

A =

2 .

Для определения коэффициента

B сравним коэффициенты при

x2 в обеих частях тождества: 1 = A + B , откуда B = 1− A =

1 .

Находим искомый интеграл:

∫

(x2

+ 6)dx

∫

+ 5∫

x − 3

−

+ C .

x(x − 3)2

x − 3

(x − 3)2

x − 3

3) Представим подынтегральную функцию в виде суммы

простейших дробей.

x2 − 5x + 9

Cx + D

(x −1)

2x + 2)

x −1

−1)

2x + 2

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и

сравнивая числители, получаем

Д2

− 5x + 9 =

A(x

−1)(x

+ 2x + 2)

+ B(x

2x +

2) + (Cx + D)(x

−1)

Полагая x = 1, находим B :

1− 5 + 9 = B(1+ 2 + 2) B = 1.

Числа

A, C, D

найдём, пр равнивая коэффициенты при x3 , x и

свободные члены в тождестве:

ипри x A + C = 0;

при x

2B + C − 2D = −5;

при x0

− 2A + 2B + D = 9.

7 ; D =

21.

Решив полученную систему, получим A = −

;

C =

Следовательно,

∫

(x2

− 5x + 9)dx

= −

∫

+ ∫

∫

(x + 3)dx

(x −1)2 (x2 + 2x + 2)

x −

(x −1)2

x2 + 2x + 2

В последнем интеграле

x2 + 2x + 2 = 0 не имеет действительных

корней. Для его вычисления выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе.

x2 + 2x + 2 = x2 + 2x +1−1+ 2 = (x +1)2 +1.

Тогда

(x + 3)dx

∫ x2 + 2x + 2

(x + 3)dx

t = x +1

t + 2

tdt

= ∫

x = t −1

= ∫

dt = ∫

+ 2∫

(x +1)2 +1

t2 +1

dx = dt

∫

d(t2 +1)

+ 2∫

1 ln

+2arctgt + C =

t2 +1

1 ln

x2 + 2x + 2

+ 2arctg(x +1) + C .

Таким образом, имеем

∫

(x2 − 5x + 9)dx

= − 7 ln

x −1

−

+ 2x + 2

14 arctg(x +1) + C .

(x −1)2 (x2 + 2x + 2)

x −1

4) Квадратный трёхчлен

x2 + 2x + 2

не имеет действительных

корней. Поэтому подынтегральная дробь раскладывается на слагаемые следующим образом:

x3 + x

Ax + B

Cx + D

+ 2x + 2)

+ 2x + 2

И(x + 2x +

Следовательно,

+ x =

(Ax + B)(x Д+ 2x + 2) + Cx + D .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

при x

A = 1;

при x2

2A + B = 0 ;

при x 2A + 2B + C = 1;

ипри x 2B + D = 0.

Откуда получаем A = 1;

B = −2 ; C = 3; D = 4 . Следовательно,

∫

(x3 + x)dx

∫

(x − 2)dx

∫

(3x + 4)dx

∫

(x − 2)dx

+ 2x + 2)

2x + 2

+ 2x

+ 2)

(x +1)

(3x + 4)dx

t = x +1

t − 3

3t +1

tdt

+ ∫

= t −1

∫

dt + ∫

dt = ∫

− 3∫

((x +1)2 +1)

(t2 +1)2

2 +1

t2 +1

dx = dt

t2 +1

+ 3∫

tdt

+ ∫

∫

d(t2 +1)

− 3∫

∫

d(t2

+1)

(t2 +1)2

(t2 +

1)2

t2 +1

(t2 +1)2

+ ∫

1 ln

t2 +1

− 3arctgt −

∫

(t2 +1)2

2(t2 +1)

(t2 +1)2

Для нахождения последнего интеграла воспользуемся формулой приведения (1.2).

∫

+ (2 2 −

3)∫

arctgt + C .

2(2 −1) t

Итак, находим искомый интеграл

∫

(x3 + x)dx

= 1 ln

− 3arctgt −

1 arctgt + C =

(x2 + 2x + 2)2

2(t2 +1)

1 ln

+ 2x + 2

−

5 arctg(x +1) +

x − 2

+ C .

2(x2 + 2x

+ 2)

5) Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь.

Выделяя целую часть, получим

x4 − 3x2 − 5x2 + 30x − 22

2x + 2

x3 − x2 − 8x +12

= x − 2 +

3 − x

2 − 8x +12

Следовательно,

∫

x4 − 3x2 − 5x2 + 30x − 22

dx = ∫ (x −

2)dx + ∫

x2 + 2x + 2

dx .

− x

−

8x +12

− x

−

8x +12

Первый интеграл интегрируется непосредственно

∫ (x − 2)dx

Д− 2x.

Постоянное C отпускаем, относя его ко второму члену.

Во втором интеграле замечая,

что

x3 − x2 − 8x +12 = (x − 2)2 (x + 3),

разложим правильную рацбональную дробь

2 + 2x

+ 2

x2 + 2x + 2

3 2

(x − 2)

(x + 3)

− x

− 8x +12

на простейшие дроби:

Сx + 2x + 2

(x − 2)2 (x + 3)

x − 2

(x − 2)2

x + 3

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем

x2 + 2x + 2 = A(x − 2)(x + 3) + B(x + 3) + C(x − 2)2 .

Полагая x = −3 и x = 2, находим C = 15 и B = 2.

Для нахождения коэффициента A приравняем коэффициенты при x2 в тождестве. Получим

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.61 Mб01710.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01711.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01712.pdf
#
07.01.20211.62 Mб11713.pdf
#
07.01.20211.62 Mб91714.pdf
#
07.01.20211.62 Mб21715.pdf
#
07.01.20211.62 Mб41716.pdf
#
07.01.20211.63 Mб01717.pdf
#
07.01.20211.63 Mб01718.pdf
#
07.01.20211.63 Mб321719.pdf
#
07.01.2021324.91 Кб1172.pdf