Арас:

Подставляя

полученные

выражения в

мулфору (2.30), находим

n 2

V

V

Pz

V

Pz

V

V

Арас

= ∫a PрасdV

= ∫a

dV = ∫a

dV

=

∫a

Pz Vc

dV =Pz

Vcn 2 ∫a V −n 2 dV =

Vc

Vc δтекn 2

Vc

V

n 2

Vc

V n 2

Vc

V

c

n

V −n 2+1

Va

Pz Vcn 2

1−n

1−n

= Pz Vc

2 −n

+1

V =

(Va

2

−Vc

2

).

(2.32)

1− n

2

c

2

Значение давления на линии сжатия определяется по формуле

P

= Р ε n1

, где n

− показатель политропы сжатия (1,28 ÷ 1,35).

cж

а

тек

1

При этом εтек=Vа /V

− текущее значение величины сжатия. Тогда по

формуле (2.31) находим Асж:

n1

V

V

V

V

А

= ∫a P dV = ∫a

Р

ε n1

dV

= ∫a Р

Va

dV =

P V n 1

∫a V −n 1 dV =

V n1

сж

V

сж

V

а

тек

V

а

a

a

V

c

c

c

c

n

V −n 1+1

Va

Pa Van1

1−n

1−n

= Pa Va

1

−n

+1

V

=

(Va

1

−Vc

1 ).

(2.33)

1− n

1

c

1

И

Далее индикаторную работу двигателя вычисляют по формуле

(2.29), подставляя в неё полученные значения Арас

и Асж из формул

(2.32) и (2.33) соответственно.

Д

А

Путь, пройденный телом

б

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной

скоростью ϑ = ϑ

(t).

Найдем путь S, пройденный ею за промежуток

и

времени от t1 до t2 .

Из физического смысла производной известно,

то есть ϑ (t) = dS

. Отсюда следует,

что dS = ϑ (t)dt .

Интегрируя

dt

полученное равенство в пределах от t1

до t2 , получим

t2

(2.34)

S = ∫ϑ (t)dt .

t1

постоянна γ = const

(кг/м2), получим, что масса всей пластинки (кг)

равна m =γ S , где

S

b

И

γ − плотность

− площадь

пластинки, м2;

пластинки, отнесенная

к единице площади

(поверхностная

Д

плотность). Толщина пластинки настолько мала, что ей можно

пренебречь. Таким образом,

А

m = γ

∫

f (x)dx .

(2.35)

б

a

и

С

Sx

1

b

b

=

γ

∫ y2dx ; Sy = γ ∫ xydx.

(2.36)

2

a

a

Если точка С (хс , ус )

−

центр

тяжести плоской

фигуры

(пластинки), то его координаты вычисляются по формулам

γ

b

xydx

b

xydx

Sy

∫

∫

x

c

=

=

a

=

a

;

(2.37)

b

b

m

γ ∫

ydx

∫ ydx

1

a

b

a

b

γ

y2dx

y2dx

Sx

2

∫

1

∫

yc

=

=

a

=

a

.

(2.38)

m

b

2

b

γ

ydx

ydx

∫

∫

a

a

Сила давления жидкости

Основной

закон

гидростатики

[закон Паскаля (Б. Паскаль

(1623−1662) −

французский

ученый)]

заключаетсяИ

в том, что

давление, производимое внешними силами на поверхность жидкости,

передается одинаково по всем направлениямД

. Давление – это

нормальная сила, приходящаяся на единицу площади.

и

F

Известно, что давлен е определяетсяА

по формуле

P =

, где F −

сила, Н; S

С

2

S

− площадь,

давление и напор связаны

бм . Кроме того,

выражением

P = ρ g h,

где ρ − плотность, кг/м3;

g – ускорение

2

свободного падения, м/с ; h – глубина погружения тела от свободной

поверхности жидкости (плоскость сравнения), м.

Тогда сила, действующая на поверхность площадью S ,

определяется по формуле

F = P S = ρ g h S .

(2.39)

(Если ρ измеряется в кг/м3, g – в м/с2, h – в, м, S

– в м2, то

1. Пусть

р = р (х)

− давление на

часть пластины,

соответствующее отрезку

[а; х] значений

переменной х, где

И

Д

А

Рис. 2.15. Схема для определения давления

б

жидкости на вертикальную пластину

и

p(x)

2. Зададим аргументу

х

приращение

∆

х

=

dx . Функция

получит приращен е

∆ p

(р с. 2.15). Найдем

дифференциал

dp

С

будем

(давление на малом участке) этой функции. Ввиду малости dx

Тогда по формуле (2.39)

dF = P dS = ρ g x ( y2 − y1 ) dx.

(2.40)

h

dS

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х=a до x=b,

получим

b

( y2

b

f1 ) x dx .

F = ρ g ∫

− y1 ) x dx или F = ρ g ∫ ( f2 −

(2.41)

a

a

нашем случае ϑ(t) = 0,03t2 ; t = 0;

t

2

= 10. Следовательно,

1

t2+1

t3

10

0,03t2dt = 0,03

10

10

= 0,01 103 = 10м .

S = ∫

= 0,03

2 +1

0

3

0

0

Задача 2.

Для растяжения

пружины

на 1 м необходимо

коэффициента. Для его нахождения воспользуемся формулой (2.21).

По условию задачи a = 0; b = 1; A = 5, следовательноИ,

1

kx2

1

10 = 1k k = 10 Н/м .

5 = ∫ k x dx 5 =

0

б

Д

2

0

Таким образом, F(x) = 10x .

Чтобы найти

длину, на которую

и

можно растянуть

пруж ну, совершивАработу

в 15 Дж, мы также

b

10x2

b

30 = 10b2 3 = b2 b =

15 = ∫10xdx 15 =

3 ≈ 1,73.

2

0

0

Следовательно, пружину нужно растянуть примерно на 1,73 м.

ПроиллюстрируемСситуацию, описанную в задаче

графически

а

б

уравнение прямой

y = k x

(в нашем

примере k = 10,

соответствующая прямая y = 10x

изображена

на рис. 2.17). Так,

Д

y=kx+b

А

Иy=kx

10

б

О

5

b

и

0,5

1

x, м

Рис. 2.17. Характеристики пружины

В случае предварительного растяжения пружины по ее оси

действует силаСF = k x + b , где b

− величина

предварительного

1

Рис. 2.18. Форсунка:

– сопловые отверстия;

2

– игла;

3

– корпус распылителя;

4

– гайка распылителя;

5

– корпус;

6

– шток;

7

И

– опорная шайба;

8

– пружина;

9

– регулировочный винт;

10

– контргайка;

11

– колпак;

А

12

– сетчатый фильтр;

13

– уплотнитель;

б

14

– штуцер;

15Д− канал

и

6

2

С

Задача 3.

В процессе расширения газа объем цилиндра

увеличился с 0,1 до 0,2 м3. При этом давление в цилиндре

уменьшилось с 3 до 1 МПа (1 МПа=1 10

Н/м ). Вычислить работу

найдена

путем

непосредственного

сложения

площадей

прямоугольного треугольника S1 и прямоугольника S2

(для

соблюдения

единицы

величины

считаем

Р1 = 3·106 Н/м2;

Р2 = 1·106 Н/м2):

= 1

(3 106 −1 106 ) (0,2 − 0,1)+1 106 0,1 =

A = S

= S +

S

2

1

2

этого нам необходимо знать функцию

P = P(V ), задающую

зависимость давления Р от объема V. Так как Р и V по условию задачи

связаны линейно, найдем уравнение соответствующейИ

прямой,

соединяющей

точки с координатами

(0,1; 3 106 ) и

(0,2;1 106 ) по

б

формуле уравнения прямой, проходящейДчерез две заданные точки:

V − 0,1

=

P − 3 106

. С

помощью

несложных

преобразований

0,2 − 0,1

1 106 − 3 106

А

приходим к уравнен ю P = (5 − 20 V ) 106 . Тогда по формуле (2.25)

работа расширения газа будет равна

0,2

и

V 2

0,2

A = ∫(5

− 20 V ) 10

6

dV

=10

6

=

5 V − 20

0,1

2

0,1

С

=106 [(5 0,2 − 0,4)− (5 0,1 − 0,1)]= (0,6 − 0,4) 106 = 2 105 (Н·м или Дж).

Задача 4.

Найти

силу, возникающую

от

давления

бензина,

находящегося в цилиндрическом баке высотой

h = 4 м и радиусом

r = 2м

( ρ = 900кг/м3),

на стенки бака

на

каждом

метре

глубины

h Sбоковой

поверхности

Следовательно,

2

F = ρ g 2 π

h

x dx = 9,8

900 2 π 2

h

= 17640π h2 .

r ∫

0

2

И

x

Д

h

dx

А

Y

б

O

и

С

Р с. 2.20. Цилиндрический бак

2

2

Так как в условии

задачи

речь идет о нахождении силы,

F1 =17640π h1

=17640π 1

=17,64π (кН);

F

=17640π h2

=17640π 22

= 70,56π (кН);

2

2

F =17640π h2

=17640π 32

=158,76π (кН);

3

3