96. ∫

dx

.

97. ∫

dx

.

98. ∫

1+ sin x

dx .

sin x(1+ cos x)

4sin x + 3cos x

+5

4 − 5sin x

99. ∫

cos

3

x

dx .

100.

∫

sin xdx

.

101.

∫ sin x

+ sin

3

x dx .

sin2 x +

6cos2

sin2 x + sin x

x

cos 2x

102. ∫ sin5 xdx .

103. ∫ cos5 2x sin3 2x dx .

104.

∫ sin3 xdx .

И

cos8

x

4

4

dx

105.

∫ cos

3xdx .

106.

∫ tg

xdx .

107.

∫

.

sin2 x cos4

x

dx

sin5 xdx

. Д110.

108. ∫

.

109. ∫

∫ ctg3/ 2 xdx .

4

3

3

2

sin

x cos

x

sin

4

x

cos x

111. ∫ sin 3x cos7xdx .

112.

∫ sin 2Аx sin 9xdx .

113.

∫ cos3x cos5x cos8xdx .

б

1.8. Интегрирование иррациональных функций

и

1) Если корни в подынтегральном выражении имеют вид

С n

, q x p , g xs ,

xm

то с помощью подстановки x = tk , где k

− наименьшее общее кратное

n

ax + b

3)

Интегралы

вида

∫ R x,

cx + d

dx рационализируются с

помощью подстановки

ax + b = tn .

4) Интегралы вида

cx + d

а) ∫ R(x,

)dx ;

a2 − x2

б) ∫ R(x,

)dx ;

x2 + a2

в) ∫ R(x,

)dx

x2 − a2

интегрируются с помощью тригонометрических подстановок:

а)

x = a sin t или x = a cos t ;

б) x = a tgt или x = a ctgt ;

в)

x =

a

или x =

a

.

cost

sin t

Д

Примеры решения задач

А

И2x +

x

−

2

dx ;

2x − 3

dx ;

Проинтегрировать:

1)

∫

x(3

x

+1)

2)

∫

34

2x − 3

+ 4

(2x − 3)3

б

6

dx

4

− x2

dx

3) ∫

x − 2

; 4)

∫

dx ; 5) ∫

.

2

x + 2

x

и

+

2

3

x

(4

x

)

Решение: 1) Здесь x входит в

подынтегральную

функцию

с

показателями корней 2

3. Поэтому применяем подстановку x = t

,

откуда

x = t6

t3 − 2

t3 − 2

x − 2

∫

dx =

dx

= 6t

5

dt

= ∫

6t

5

dt = 6∫

dt .

3

6

2

3

x(

x +1)

t

(t

+1)

t

+ t

t = 6

x

С

Получился интеграл от рациональной дроби. Выделяем целую

часть, имеем

t3 − 2

t + 2

t + 2

6∫

3

dt

= 6∫ 1

−

dt = 6 t − ∫

dt .

t

+ t

t

3

t

(t

2

+1)

+ t

Для

нахождения

последнего

интеграла

разложим

подынтегральную функцию на простейшие дроби

t + 2

=

A

+

Bt + C

,

t(t2 +1)

t

t2 +1

A = 2; B = −2; C = 1. Следовательно,

t + 2

dt

1− 2t

dt

6 t − ∫

dt

= 6 t −

2∫

−

∫

2

dt

= 6 t − 2ln

t

− ∫

+

t(t

2

+

1)

t

t

+1

t

2

+1

2tdt

d(t2 +1)

= 6[t − 2ln

+ ∫

= 6 t − 2ln

t

− arctgt +

∫

2

t

− arctgt +

t

2

+

t

+

1

1

+ ln

t2 +1

]+ C = 6[6

− 2ln 6

− arctg6

+ ln(3

+1)]+ C.

x

x

x

x

2) Полагая 2x − 3 = t4 , имеем

2x − 3 = t4

t4 +

3 + t2

2x + 2x − 3

∫

dx =

x = (t

4

+ 3) / 2

= ∫

2t

3

dt =

3t

+ t3

4

4

3

3

2x

− 3 +

(2x

− 3)

dx = 2t3dt

t6

+ t4 + 3t2

4

2

27

= 2∫

dt = 2∫

t

− 2t

+ 9

−

dt =

3 + t2

3 + t2

И

5

3

2t

27

t