Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1715.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

Кафедра «Высшая математика»

Т.Е.Болдовская,Т.А. Полякова, Е.А. Рождественская

ИНТЕГРАЛЬНОЕСибАДИИСЧ СЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебное пособие

Омск ♦ 2016

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция

УДК 517 маркировке не подлежит.

ББК 22.161.1

Б79

Рецензенты:

канд. физ.-мат.наук, доц. В.В. Благонравов (ФГБОУ ВО ОмГУ им. Ф.М. Достоевского); канд. физ.-мат.наук, доц. Ю.В. Коваленко (ЧОУ ВО ОмЮА)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебного пособия.

Болдовская, Татьяна Ерофеевна.

Б79 Интегральное исчисление функции одной действительной переменной и его приложения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Т.Е. Болдовская, Т.А. Полякова,

Е.А. Рождественская. – Электрон. дан. − Омск : СибАДИ, 2016. – URL: http://
СибАДИ			доступа:	для
bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r plus/cgiirbis 64 ft.exe.	-	Режим

авторизованных пользователей.

ISBN 978-5-93204-986-0.

Является руководством к решению задач по разделу « нтегральное исчисление функций одной действительной переменной» для студентов инженерно-технических специальностей. Состоит из двух глав: «Неопределенный интеграл» и «Определенный интеграл». В каждой главе приводится необходимый теоретический материал, содержится подробный разбор типовых задач. Глава «Определенный интеграл» содержит геометрические и физические приложения интегрального исчисления функции одной действительной переменной. Содержит более 200 задач с ответами и разноуровневые тестовые задания для самопроверки, а также расчетно-графическую работу (РГР) для обеспечен я самостоятельной работы по освоению раздела интегрального исчислен я.

Имеет интеракт вное оглавлен е в виде закладок, что обеспечивает удобную навигацию по главам. Созданы нтерактивные переходы в задачах для самостоятельной работы к ответам, а также от отдельных ссылок в тексте, выделенных синим цветом, к формулам и рисункам.

Может использоваться бакалаврами, магистрами, специалистами при изучении и повторении курса математики, а преподавателями – для подготовки и проведения практических занятий.

Текстовое (символьное) издание (1,5 МБ)

Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;

1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader ; Google Chrome

Редактор И.Г. Кузнецова Техническая подготовка − Т.И. Кукина

Издание первое. Дата подписания к использованию 26.09.2016

Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

Введение

Учебное пособие предназначено для студентов инженернотехнических специальностей вузов, изучающих курс математики.

Пособие состоит из двух глав «Неопределенный интеграл» и «Определенный интеграл» и представляет собой готовый модуль по разделу «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной», включающий в себя теоретический материал, комплекс практических задач, комплект оценочных средств. Последний представлен вопросами к зачету (экзамену), расчетно-графическими работами, системой разноуровневых задач (заданий) и тестовыми заданиями, что, в свою очередь, отвечает современным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта по математике для студентов инженерных специальностейИ вузов.

При написании учебного пособия авторы старались добиться максимальной доступности изложенияД, сохраняя необходимый уровень строгости. Каждая глава содержит теоретический материал, который сопровождается достаточно подробно рассмотренными примерами, задачами и иллюстрируетсяАна рисунках. Задачи к первой главе «Неопределенный интеграл» подобраны так, чтобы в процессе ознакомления с их решениямибчитатель мог самостоятельно овладеть основными методами интегрирования.

Глава «Определенныйиинтеграл» имеет большую прикладную направленность, однако трад ционно на его изучение в технических вузах выделяетсяСочень н зк й объем аудиторной нагрузки. При рассмотрении геометр ческ х приложений определенного интеграла рассмотрены следующие задачи: площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Физические приложения определенного интеграла иллюстрируются задачами на вычисление массы стержня, работы по перемещению материальной точки, пути, пройденного телом, статистических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры, силы давления жидкости. Предложен пример решения задачи на нахождение работы двигателя по его индикаторной диаграмме с помощью определенного интеграла.

Вперечень практических заданий вошли задания, составленные авторами, а также заимствованные из других литературных источников.

Вконце учебного пособия приведена расчетно-графическая

работа (РГР). Посредством РГР, согласно положению о фонде оценочных средств, осуществляется проверка умений студентов применять полученные знания для решения задач (заданий) по всему изученному модулю в целом.

Помимо РГР для проверки уровня усвоения пройденного материала пособие содержит разноуровневые задачи и задания, представленные задачами (заданиями): а) репродуктивного уровня; б) реконструктивного уровня; в) творческого уровня. Задания творческого уровня, предложенные авторами пособия, носят прикладной характер и позволяют оценивать и диагностировать умения студентов интегрировать математические знания в специальные дисциплины.

Тестирование студентов по дисциплине также входит в перечень средств контроля и оценки знаний. Тесты, предлагаемые авторами пособия, содержат задания по всем основным темам изучаемого

наполнения представляет собой завершенныйД модуль по разделу «Интегральное исчисление функции одного действительного

раздела и носят различный характер.

В заключение приводятся критерии оценки знаний и умений

студентов по изученному разделу.	И

Таким образом, данное учебное пособие по характеру своего

переменного» и может использоватьсяА бакалаврами, магистрами, специалистами при изучении и повторении данного раздела

математики, а преподавателями − как для подготовки и проведения
	б
практических занят й, так для контроля и оценки знаний и умений
студентов.	и

Коллектив авторов выражает благодарность доцентам кафедры

«Тепловые двигателиСи автотракторное оборудование» канд. техн. наук А.Л. Иванову и канд. техн. наук Ю.П. Макушеву за консультацию по вопросам технических приложений интегрального исчисления функции одного действительного переменного, а также за их помощь в подборке задач, которые могут быть использованы преподавателями математики при обучении студентов направления «Двигатели внутреннего сгорания».

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства

Как известно, задача дифференциального исчисления заключается в том, чтобы по данной функции f (x) найти ее производную (или

дифференциал). Задача интегрального исчисления – найти функцию F(x) , зная ее производную F′(x) = f (x) (или дифференциал).

Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f (x).

Таким образом, интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f (x) на интервале (a b;), если для любогоИx (a;b) выполняется

равенство

F ′(x) = f (x) или dF(x) = f (x) dx .

Теорема. Если функция F(x) являетсяДпервообразной функции f (x) на интервале (a b;), то множествоАвсех первообразных для f (x) задается формулой F(x) + С , где С – константа.

Другими словами, каждая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на некоторую постоянную величину – константу.

Например, первоо разной

функции

y = x3 ,

x R

является

′

функция F(x)

так как

′

= x

= f (x),

а также

(x)

′

4 x

функция F(x)

′

+ 3

+ 0 = x

= f (x) ,

+ 3, так как F

(x) =

и вообще любая функция вида

F(x) =

+ С ,

где С −

константа,

′

4 x

′

+ 0

= x

f (x) (воспользовались

поскольку F (x) =

+ С

тем, что производная константы равна нулю).

Определение. Множество всех первообразных функций F(x) + С

для функции

f (x)

называется

неопределенным

интегралом от

функции f (x) и обозначается ∫ f (x)dx , а операция нахождения

неопределенного интеграла от функции называется интегрированием. Таким образом, по определению,

∫ f (x)dx = F(x) + C ,

где f (x) − подынтегральная функция; f (x)dx − подынтегральное выражение; x − переменная интегрирования; ∫ − знак

неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл иногда называют первообразной функцией, воспринимая этот термин как обратный к понятию «производная»: речь идет о той функции, от которой берется (уже известная нам) производная. Заметим, что слово «интеграл»

образовано от лат. «integer» − «целый», а знак ∫ («интеграл») происходит от латинской буквы S, первой буквы слова «сумма»: он

получился растягиванием буквы S в вертикальном направлении. Каким образом интеграл связан с понятием «суммы», мы рассмотрим ниже.

								И
		Основные свойства неопределенного интеграла:
1.	(∫ f (x)dx)′ = (F(x) + C)′ = f (x) .
	d(∫ f (x)dx) = f (x)dx .						Д
2.	d(∫ f (x)dx) = f (x)dx .			А
3.	∫ dF(x) = F(x) + C .			А
4.	∫ C f (x)dx = C ∫ fб(x)dx .
5.	∫	[f (x)± g(x)]dx = f (x)dx ±				∫	g(x)dx.
	∫	и∫				∫
6.	Если ∫ f (x)dx = F(x) + C и u = ϕ(x) , то ∫ f (u)du = F(u) + C .
		С	+ b)dx =		1	F(ax + b)+ C , где a ≠ 0 .
В частности, ∫ f (ax			+ b)dx =		a	F(ax + b)+ C , где a ≠ 0 .
					a

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже мы приведем таблицу

основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов от различных функций.

Таблица основных неопределенных интегралов

№

Неопределенный интеграл

Значение неопределенного интеграла

п/п

∫ 0dx

С, С − константа

∫ adx , а - константа

ax + C

∫ x

dx,n

≠ −

xn+1

n +1 + C

∫

+ C

∫ a dx

ln a + C

∫ exdx

+ C

∫sin xdx

−cos x + C

∫ cos xdx

sin x + C

∫ tgxdx

−ln

cos x

+ C

∫ ctgxdx

sin x

+ C

tgx + C

∫ cos2 x

−ctgx + C

∫ sin2 x

∫

+ C

cos x

∫

+ C

sin x

∫

1 arctg

+ C

x2 + a2

∫

x − a

+ C

x2 − a2

x + a

∫

arcsin

+ C

a2 − x2

∫

x + x2 ± a

+ C

x2 ± a

нами

будут

рассмотрены

основные

приемы

интегрирования.

1.2. Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования – метод, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Примеры решения задач

Проинтегрировать:

x2dx

3x3 − 5x 3

+ 4x −

∫

dx ;

∫

;

3) ∫ (1− 3

)

dx ;

x2 + 4

4) ∫ ctg2 xdx ; 5) ∫ cos3 x d cos x .

Решение:

1) Разделим почленно

числитель

на

знаменатель; в

результате подынтегральная функция раскладывается на слагаемые,

каждое из которых проинтегрируем:

−

x +

4x −

∫

− 5

+ 4

−

x x

3/ 2

− 5x

−1/ 6

−1/ 2

−

3∫ x

3/ 2

− 5∫ x

−1/ 6

dx + 4∫ x

−1/ 2

dx −

∫

dx =

−

∫

dx =

x3/ 2+1

− 5

x−1/ 6+1

+ 4

x−1/ 2+1

− ln

+ C

5/ 2

−

5/ 6

3/ 2

−1/ 6б+1 −1/ 2 +1

1/ 2

+ 8x

+ C =

− ln

x − 6

+ 8 x − ln

+ C.

2) Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции

число 4, получим

x2dx

x2 + 4 − 4

∫

= ∫

1−

dx = ∫ dx − 4∫

+ 4

2 + 4

x2 +

= x − 4

1 arctg

+ C = x − 2 arctg

+ C .

3) Возведём в квадрат подынтегральную функцию и проинтегри-

руем каждое слагаемое, имеем

∫ (1− 3x )2 dx = ∫ (1− 2 3x + 9x )dx = ∫ dx − 2∫ 3x dx + ∫ 9x dx = x −

+ C .

ln 3

ln 9

4) Здесь следует воспользоваться тригонометрической формулой

1+ ctg2 x =

Откуда получаем

sin

∫ ctg2 xdx = ∫

− 1 dx =

∫

− ∫ dx = −ctgx − x + C .

sin

2 x

sin2

5) Воспользуемся свойством 6 неопределённого интеграла, где

u = cos x , имеем

(cos x)3+1

+ C = cos4 x

∫ cos3 x d cos x =

+ C .

3 +1

Задачи для самостоятельной работы

Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти

следующие интегралы:

dx .

dx5 .

1. ∫ 6x4dx .

∫

3. ∫

4. ∫ (x − 4x + 2x)dx .

5. ∫ (x −1)(x + 4)dx .

6. ∫

1− 6x +

4xД

(4 − 3 x )

7. ∫ 3 x2 (83 x −1)dx .

∫

9. ∫

dx .

10. ∫ 7

dx .

11. ∫

dx .

12. ∫

−1)(5

− x

+1)dx .

32А− 2

sin x

−

4cos

xdx .

13. ∫

dx .

14.

∫

−

dx .

15.

∫

sin2 x

иcos2 x

cos2 x

16. ∫ (ctgx − tgx)2 dx .

17. ∫

18.

∫

9 − x2

x2 +16

4 − x2

−

2 − x2

dx .

20. ∫

19. ∫

21.

∫

dx .

x2 + 4

16 − x4

2 − x2

22. ∫ 5

23. ∫ etgx d tgx .

24. ∫

d sin x

ln xd ln x .

1− sin2 x

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.61 Mб01710.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01711.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01712.pdf
#
07.01.20211.62 Mб11713.pdf
#
07.01.20211.62 Mб91714.pdf
#
07.01.20211.62 Mб21715.pdf
#
07.01.20211.62 Mб31716.pdf
#
07.01.20211.63 Mб01717.pdf
#
07.01.20211.63 Mб01718.pdf
#
07.01.20211.63 Mб321719.pdf
#
07.01.2021324.91 Кб1172.pdf