Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1715.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Глава 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Приёмы вычисления определённого интеграла


Пусть функция		y = f (x)	определена и непрерывна на отрезке
[a,b].	Разобьём	отрезок	[a,b] на		n	частей точками
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b .			Выберем на	каждом			элементарном
отрезке	[xi−1, xi ] произвольную точку			ξi	и	обозначим		через
∆xi = xi	− xi−1 длину каждого такого отрезка.				Интегральной суммой
для функции y = f (x) на отрезке [a,b] называется сумма вида
	n	= f (ξ1)∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + ... + f (ξn )∆xn .
	∑ f (ξi )∆xi	= f (ξ1)∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + ... + f (ξn )∆xn .						(2.1)
	i =1						на отрезке [a,b]
Определённым интегралом от функции y = f (x)							на отрезке [a,b]

называется предел интегральной суммы (2.1) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

b		n
∫ f (x)dx =	lim	∑ f (ξi )∆xi .		(2.2)
a	max ∆xi	→0i =1	И

	Если	функция		y = f (x)	непрерывна на отрезке	[a,b], то
предел (2.2) существует и не зависитДот способа разбиения отрезка
[a,b] на		элементарные отрезки и от выбора точек ξi				(теорема
			и
существования определённого интегралаА).
	a	bС
		Основные свойствабопределённого интеграла
1.	a∫ f (x)dx = 0.
	a
2.	b∫ f (x)dx = −a∫ f (x)dx .
3.	b∫ f (x)dx = c∫ f (x)dx + b∫ f (x)dx .
	a	a		c
4.	b∫ k f (x)dx = kb∫ f (x)dx .
	a	a
5.	b∫ [f (x)± g(x)]dx = b∫ f (x)dx ± b∫ g(x)dx .
	a		a	a
6. x [a,b] f (x)≥ g(x) b∫ f (x)dx ≥ b∫ g(x)dx .
				a	a

7. Если функция	f (x)	непрерывна	на [a,b],	то на этом	отрезке
			b		c [a,b]
существует точка	c,	такая что	∫ f (x)dx =	f (c)(b − a),	c [a,b]

(теорема о среднем).

Для вычисления определенного интеграла от функции y = f (x) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл F(x), служит формула Ньютона−Лейбница

b∫ f (x)dx = F(b)− F(a),

(2.3)

где F (x)= f (x).

′

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть

для

вычисления

определённого

интеграла

∫ f (x)dx от

непрерывной функции сделана подстановка

x = ϕ(t). Если функция

ϕ(t)

и её производная ϕ (t)

причём

непрерывны на отрезке [α, β ],

′

a = ϕ(α)

и b = ϕ(β ) , то справедлива формула

f (x)dx

′

(2.4)

∫

= ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt.

Интегр рован е по частям в определённом интеграле

Интегрирование по частям в определённом интеграле

осуществляется по формуле

b −

∫ u(x)dv = u(x)v(x)

∫ v(x)du,

(2.5)

где u(x)

и v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,b].

Примеры решения задач

Вычислить интегралы: 1)

4dx ; 2)

ln xdx

;

∫ 5x

∫ (3x − ex / 4 )dx

; 3) ∫

xdx

2 ln 2

x cos xdx ; 7)

e ln x

dx.

4) ∫

; 5)

∫

; 6)

∫

x +1

−1

ln 2

Решение: 1) По формуле Ньютона–Лейбница (2.3)

dx = x

= 2

−

32 −1 = 31.

∫ 5x

dx = 5∫ x

2) На основании формулы (2.3) находим

x / 4

= (24 − 4e) − (0 − 4) = 28 − 4e.

∫ (3x

− e

)dx

−

ln xdx

(ln x)2

(ln e2 )2

−

(ln e)

= 2 −

∫

∫ ln xd(ln x) =

t =

Введем

новую

переменную, полагая

Отсюда

x +1

находим t2 = x +1; 2tdt = dx . При x = 3 имеем t

= 2; при x = 8

= 3 +1

имеем t = 8 +1

= 3. Используя формулу замены переменной (2.4),

получим

xdx

−12tdt = 2∫ (t2 −1)dt

∫

= ∫ t

= 2 t

− t

= 2

− 3

−

− 2

10 2 .

3 x +1 2

x = ln

1+ t2

dx =

2tdt

Полагаем

t =

ex −1

Тогда

;

Если

1+ t2

x = ln 2 , то t = 1; если

x = 2ln 2 , то t

. Следовательно,

Аdt

2ln 2

= 2

= 2arctgt

−

∫

2 )

∫

1+ t2

ln 2

−1

t(1+ t

Положим

u = x ;

dv = cos xdx .

Тогда

du = dx ;

v = sin x .

Применяя формулу интегрирования по частям (2.5), найдём

∫ x cos xdx = x sin x

− ∫ sin xdx = π sinπ − 0sin 0 + [cos x

]π

= cosπ − cos0 = −2.

dv =

v = 2

x . Тогда

Положим

= ln x ;

откуда

du =

;

согласно формуле (2.5)

x dx = 2

e ln e − 2

1ln1− 4[

x ]1e

∫ ln x dx = [2

x ln x]1e− ∫ 2

= 2e − (4e − 4) = 2(2 − e).

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить определённые интегралы:

	16														8																			e2
																											1										2						x + 5 − 7x dx .
127.		xdx .
	∫												128.		∫							4x −									dx .		129.	∫
																										3

	1																							3					x	2				1														x
															1									3					x					1														x
	π / 6															π / 2																													dx
	π / 6															π / 2																		4			3
130.	∫ sin 3xdx .												131.							∫ cos3x cos5xdx .													132.	4	∫		3														.

																																										64 − x2
	0							dx							−π / 2									dx										4								64 − x2
133.	π / 4							dx				.	134.		4									dx				.					135.	1/ 2							3			x			dx		.
	∫														∫																							∫
							2																			2
							2	x		ctgx																2
	π / 6 sin							x		ctgx					1 (1+ 2x)																			−1/ 2 1+ 9x
	ln 3				exdx																													π / 2
136.											.								3														138.	π / 2						sin						3		x cos				4	xdx .
																						π	/ 4 − arcsin							x						∫										3						4
	∫												137.		2																dx .


	ln 2				e	2x		−1									∫																			0
	ln 2					2x											∫								1− x2											0
															3										1− x2
															−
	99				dx										−		2																	3												dx
																					/ 2
139.											.							3															141.																				.
													140.					3						1− x2 dx .
	∫																			∫															∫

		− x +1
	153														0																								x2								x2 + 9
	153														0																					3			x2								x2 + 9
	5														π / 2																			3
	5														π / 2																			3	e
142.	∫ xe		x	dx .									143.			∫ (x −1)cos xdx .																И						x		2		ln xdx .
142.	∫ xe			dx .									143.			∫ (x −1)cos xdx .																	144.	∫				x				ln xdx .
	0														0												Д							1
145.	0												146.		2												Д						147.	0				(2x + 3)e												− x	dx .
145.	∫ arccos xdx .												146.			∫ (1							− x)sinπxdx .										147.		∫			(2x + 3)e													dx .
	−1														−2							А												−1
																						А
								2.2. Пр ложен я определенного интеграла
														б
	Обозначим общую схему применения определенного интеграла к
решению задач.													и
решению задач.
	Итак, пусть требуется найти значение некоторой геометрической
									С

или физической величины А (это может быть площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину, путь, пройденный телом), связанной с отрезком изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А обладает

свойством аддитивности (от лат. «additivus» − прибавляемый), то есть при разбиении отрезка [a b;] точкой с (a;b) на части [a c;] и [c;b]

значение величины А, соответствующее всему отрезку [a b;], равно сумме ее значений, соответствующих [a c;] и [c;b].

Для нахождения величины А опишем метод интегральных сумм. Именно на этом методе в дальнейшем основывается вывод ряда формул, используемых для нахождения многих физических величин.

Метод интегральных сумм базируется на определении определенного интеграла, приведенного выше (см. п. 2.1).

1. Произвольным образом точками x0 = a, x1, x2 , x3,..., xn−1, xn = b отрезок [a b;] разбиваем на n частей – n частичных отрезков [xi −1; xi ], i = 1,2,..., n . Длину каждого частичного отрезка обозначим

∆xi = xi − xi−1 .

2. Внутри каждого частичного отрезка [xi −1; xi ], i = 1,2,..., n , произвольным образом выбираем точку сi .

3. Находим значение определяемой из условия задачи функции f (x) в точке сi , то есть значение f (сi ) . Умножаем это значение на

длину ∆xi соответствующего частичного отрезка [xi −1; xi ],											i = 1,2,..., n .
В результате получаем n произведений вида Ai = f									(ci ) ∆xi .
4. Составим			сумму			всех		И		произведений:
4. Составим			сумму			всех		таких		произведений:
			n			n
Àn = A1 + A2 + ... + An = ∑ Ai =						∑ f (ci ) ∆xi		− интегральная сумма.
			i=1			i=1
5. Заметим,		что	при		нахождении величины Ai допустимы
			n			А
некоторые упрощения. Например, дугу на малом участке можно
заменить хордой,		стягивающей ее концы; переменную скорость на
				б
малом участке пути можно приближенноДсчитать постоянной, так же
как и силу, действующую на движущуюся материальную точку. В
		и
связи с чем величина			A	дает при лиженное значение величины А:
						n
				A ≈ An = ∑ f (ci ) ∆xi .
						i=1
6. Точное значен е вел чины А равно пределу интегральной
суммы	An при условии, что длина наибольшего частичного отрезка
[xi −1; xi ]	стремится к нулю при неограниченном увеличении числа
частичных отрезковС(при n → ∞ ).								b
				An =			n	b
	A =	lim		An =		lim	∑ f (ci )∆xi = ∫ f (x)dx .				(2.6)
	max ∆xi →0				max ∆xi →0 i =1			a
	n→∞				n→∞

Заметим, что указанный метод интегральных сумм основан на представлении интеграла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Итак, проследим, каким же образом данная схема может быть применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.61 Mб31710.pdf
#
07.01.20211.62 Mб11711.pdf
#
07.01.20211.62 Mб21712.pdf
#
07.01.20211.62 Mб21713.pdf
#
07.01.20211.62 Mб141714.pdf
#
07.01.20211.62 Mб91715.pdf
#
07.01.20211.62 Mб101716.pdf
#
07.01.20211.63 Mб21717.pdf
#
07.01.20211.63 Mб11718.pdf
#
07.01.20211.63 Mб451719.pdf
#
07.01.2021324.91 Кб2172.pdf