- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость почти наверное
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Урновая схема
Придумайте свою урновую схему и опишите ее в виде вероятностного пространства |
Урновой схемой называется схема выбора, при которой в урне содержатся в некотором количестве шары разных цветов и после вынимания шара (или нескольких шаров) какого либо цвета в урну добавляются шары того же или иного (по некоторому правилу) цвета. Эти схемы можно использовать для описания более сложных опытов. |
Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
Пусть пространство элементарных исходов конечно или счетно. Пусть сигма-алгебра событий наибольшая (содержит все подмножества пространства элементарных исходов). Тогда любое подмножество пространства элементарных исходов является событием, содержит не более счетного числа элементарных исходов, и любая вероятность может быть представлена следуюшим образом:
Если определить функцию
по формуле
,
то предыдущее равенство превратится в следующее
Таким образом, для дискретного пространства, если известны вероятности всех элементарных исходов, то можно найти вероятность любого события. Пользуясь счетностью пространства элементарных исходов можно перенумеровать все элементарные исходы
и определив последовательность
получим, что эта последовательность является последовательностью общих членов сходящегося числового ряда с суммой равной 1
Ряд
состоит из неотрицательных чисел, следовательно сходится абсолютно, и его сумма не зависит от перестановки (перенумерации) членов.
Таким образом с любой вероятностью на дискретном пространстве можно связать сходящийся числовой ряд с неотрицательными членами и единичной суммой.
Если исходная сигма- алгебра не наибольшая, то все сказанное остается верным. Таким образом на на счетном пространстве элементарных исходов существуют лишь вероятности указанного вида |
Можно доказать обратное – с любым числовым рядом, обладающим указанными свойствами, можно связать вероятность по формуле
|
Дискретное распределение и вероятность
Последовательность pk называетсядискретное распределение(вероятностей), если
Вероятность, определяемая формулой
называется дискретной вероятностью.
Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
Распределение на конечном пространстве называется равномерное распределение, если
т.е., задав на конечном пространстве равномерное распределение, получим классическую вероятностную модель.
Биномиальное распределение – схема Бернулли
Пусть
- некоторые параметры (параметры распределения)
Воспользовавшись определением pkи биномом Ньютона, нетрудно проверить, что
|
Распределение на конечном пространстве
называется биномиальное распределение, если
|
Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой схема Бернулли.
Рассмотрим последовательность из n независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие A (“успех”). Пусть нам известна вероятность p , того что событиеА произойдет в одном опыте. Поставим задачу найти вероятность того, что в n опытах событиеA произойдет ровно k раз.
Построим вероятностную модель этого эксперимента.
Если обозначить 1 наступление события A,то моделью одного опыта будет следующее вероятностное пространство:
p1(1)=p, p1(0)=1-p
Элементарный исход, описывающий эксперимент целиком, естествено определить как n-мерный двоичный вектор
Проверьте, что таким образом заданная функция является распределением и что событиянезависимы в совокупности |
Определим вероятность элементарного исхода так, чтобы исходы отдельных опытов были независимы в совокупности.
где
|
Теперь мы в состоянии подсчитать вероятность того, что в n опытах событие A произойдет ровно k раз. Обозначим это событие
Тогда
Говорят, что данная формула дает вероятность получить k успехов в n опытах. Отметим, что в крайних случаях, когда p=1 или p=0, неопределенность отсутствует – всегда либо все, либо ноль опытов заканчиваются успехами.