- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость почти наверное
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
Во многих практических задачах априори ясно, что некоторые случайные события в эксперименте независимы. Естественно требовать, чтобы эти же события были независимы и в математической модели, описывающей данный эксперимент. Определение независимости в теории вероятностей имеет аналитический характер и, следовательно, требование независимости событий в модели, приводит к ограничениям на используемую вероятность. Эти ограничения вместе с дополнительными качественными (симметричность) или количественными требованиями часто позволяют однозначно определить подходящую вероятность.
Рассмотрим, например, эксперимент, описываемый элементарным исходом вида
где первая координата описывает одну случайную компоненту, а вторая другую случайную компоненту опыта.
Если предположить N1вариантов у первой компоненты и N2– у второй, то для того, чтобы задать вероятность, необходимо в общем случае N1*N2 –1 вероятностей элементарных исходов (столько, сколько всего пар минус одна – мы знаем , что сумма всех вероятностей пар должна быть равна 1).
Если заранее известно, что компоненты независимы, то количество вероятностей событий, которые мы должны задать , чтобы однозначно определить вероятность, уменьшается до N1 +N2 –2 (N1 –1 на первую и N2 –1 на вторую компоненту). Далее, вероятность элементарного исхода определяется как произведение вероятностей значений его компонент.
Подобный прием мы использовали при построении моделей для схемы Бернулли и мультиномиальной схемы.
В общем случае пусть элементарный исход некоторого эксперимента представляется в виде вектора с n координатами.
Пусть известно, что координаты вектора описывают независимые компоненты, т.е. все события вида
должны быть независимы. Тогда, если для описания i-той компоненты использовать вероятностное пространство
с соответствующими распределениями
то для описания всего эксперимента естественно использовать следующее вероятностное пространство
где
т.е.
т.е.
минимальная сигма-алгебра, содержащая все события, описывающие поведение компонент.
Распределение в результирующем пространстве определяется по формуле
Так построенное вероятностное пространство называется произведением вероятностных пространств
а его составляющие, соответственно, произведениями пространств элементарных исходов, произведением сигма-алгебр и произведением вероятностных мер.
Примеры построения моделей.
Ранее были рассмотрены два примера построения моделей с использованием понятия независимости – схема Бернулли и мультиномиальная схема. Приведем еще несколько примеров.
Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
Для повышения надежности ответственной системы обычно применяют резервирование ее элементов, т.е. дублируют важные части системы. Вместо одного элемента включают одновременно несколько элементов для того, чтобы при отказе одного из них система на прекращала работу.
Предположим, что вероятность отказа основного элемента (за некоторый промежуток времени – период работы) равна 0,1. Нас интересует надежность системы, составленной из параллельно подключенных 4 одинаковых элементов. Если предположить, что отказы элементов вызываются внутренними (брак при изготовлении, усталость материала, износ и т.п.), а не внешними (повышение напряжения питания, физическое разрушение при аварии) причинами, то естественно ( в первом приближении) считать отказы разных элементов независимыми.
В качестве элементарного исхода рассмотрим двоичный вектор
имеющий 4 координаты – соответственно состоянию каждого элемента в конце заданного промежутка времени ( 1 – исправен, 0 - отказ). Из условия задачи следует, что события , связанные с разными координатами должны быть независимы, следовательно, используя формулу
в нашем случае получаем
и т.д.
Система будет работоспособной весь период времени, если не отказал хотя бы один из ее элементов. Этому условию удовлетворяют все элементарные исходы, кроме одного
Сообразите, как рассчитать надежность такой системы при неодинаково надежных, но независимых элементах |
Таким образом, вероятность отказа всей системы равна
а вероятность безотказной работы (надежность)
|
Покажите ,что это действительно можно делать, если отказы элементов независимы в совокупности |
Заметим, что если рассматриваемая система является частью более сложной системы, то можно при расчетах надежности заменить эти четыре элемента одним, с вероятностью отказа 0,0001. |