Свойства случайных величин

1.Так как предел суммы, разности и произведения равен сумме, разности и произведению пределов, то сумма, разность и произведение случайных величин являются случайными величинами.

2.Если

-борелевская функция,

-случайная величина, то

-тоже случайная величина, т.к.

Верно и обратное - если случайная величина

измерима относительно сигма-алгебры

т.е.

то найдется борелевская функция

такая, что

Действительно, если

простая, то утверждение, очевидно, верно. Далее, любая измеримая относительно сигма-алгебры

функция может быть приближена последовательностью простых измеримых относительно сигма-алгебры

функций

для каждой из которых утверждение верно

Осталось взять в качестве функции f функцию

Случайный вектор

Аналогично одномерному случаю можно определить соответствующие понятия для пространства векторов размерности n. Следует только заменить интервалы на действительной оси прямоугольниками (произведениями интервалов) в пространстве векторов. Получающаяся при этом сигма-алгебра

называется борелевской сигма-алгеброй в пространстве

Аналогично даются определения борелевского множества и борелевской функции (как отображения из пространства векторов в пространство действительных чисел). При этом определении координаты случайного вектора будут случайными величинами.

Распределения случайных величин и векторов

В данной главе рассматриваются математические модели в которых пространство элементарных исходов представляет собой действительную прямую или пространство векторов с действительными координатами. В главе содержатся способы построения вероятностных мер (распределений) на борелевских алгебрах, приводятся наиболее важные распределения и примеры практических ситуаций, в которых они возникают. Вначале нам потребуются некоторые факты из теории меры.

Построение меры на прямой

Сигма-конечная мера

Мера называется сигма-конечной, если существует полная группа событий такая, что мера каждого из событий конечна. Ясно, что вероятность является сигма-конечной мерой.

Теорема Каратеодори

Следуюшая теорема общей теории меры дает способ построения меры на измеримом пространстве. Она приводится без доказательства.

Теорема Каратеодори.

Пусть

пространство элементарных исходов, A – алгебра,

.

Пусть

сигма-конечная мера, заданная на

Тогда существует и единственна сигма-конечная мера

заданная на

такая что

Продолжение и сужение меры

Мера

называется продолжение меры

Если мера задана на сигма –алгебреи- другая сигма-алгебра, то мерусовпадающую снаназывают сужением мерына сигма-алгебру

Часто для меры, ее продолжения и сужения используют одинаковые обозначения.

Теперь можно переходить к построению вероятностных мер на прямой.

Функция распределения

Функция действительного аргумента

назвается функция распределения, если она удовлетворяет следующим условиям

Важность функции распределения состоит в том, что каждой такой функции соответствует единственная вероятность Pна борелевской сигма-алгебре прямой, для которой

и, наоборот, каждой вероятности на борелевской сигма-алгебре прямой соответствует некоторая функция распределения

Действительно, если P – вероятность, то функция, определенная по формуле

будет, очевидно, удовлетворять свойствам 1) и 2).

Свойства 3),4) следуют из свойства непрерывности вероятностной меры:

если

то

если

то

если

то

Для того, чтобы доказать обратное, заметим, что алгебра, состоящая из конечных объединений отрезков вида

порождает борелевскую сигма-алгебру. Функция

конечно аддитивна. Для того, чтобы воспользоваться теоремой Каратеодори, необходимо доказать ее счетную аддитивность (или непрерывность). А вот этого мы делать не будем, так как это обычно доказывается ( или не доказывается в курсе функционального анализа). Тех, кто очень хочет прочитать доказательство счетной аддитивности этой функции, отправляем к книгам Боровкова и Ширяева (Error: Reference source not found).

Если нам будет важно отметить, какая вероятность соответствует функции распределения F, будем отмечать это так