- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость почти наверное
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Расчет надежности при последовательном соединении элементов
Системой с последовательным соединением элементов назовем такую систему из n элементов, в которой отказ любого из этих элементов приводит к отказу всей системы.
Рассчитаем надежность системы, составленной из 3 последовательно соединенных одинаковых независимых элементов (вероятность отказа каждого - 0,1)
Действуя по аналогии с предыдущим примером, построим пространство элементарных исходов и определим их вероятности. Отказ системы возникает при всех исходах кроме одного
Таким образом, вероятность безотказной работы этой системы равна
что значительно меньше чем вероятность безотказной работы одного элемента.
Заметим, что если рассматриваемая система является частью более сложной системы, то можно при расчетах надежности заменить эти три элемента одним, с вероятностью отказа 0,271.
Расчет надежности сложной системы.
Если сложную систему удается представить в виде последовательно-параллельного соединения элементов, то ее надежность можно рассчитать последовательно рассчитывая надежности ее частей и заменяя каждую часть элементов одним элементом.
На рисунке приведене пример такой системы. На элементах указаны вероятности их отказа.
Заменим три последовательно соединенных верхних элемента одним, с вероятностью отказа 0,352 = 1-(1-0,1)*(1-0,2)*(1-0,1), а два параллельных внизу одним с вероятностью отказа 0,09=0,3*0,3. Тогда получим следующую схему
Заменяя сначала последовательно соединенные элементы одним с вероятностью отказа 0,0991=1 - (1-0,09)*(1-0,01), затем получившиеся параллельно соединенные элементы одним с вероятностью 0,0348832 =0,352 * 0,0991 получим
Таким образом вероятность безоказной работы системы равна 1-0,0348832 =0,9651168.
Замечания к примерам.
1. В предыдущих примерах элементарный исход представлял собой вектор, координаты которого были однородны – принимали значения из одного и того же множества. Нет никаких ограничений при построении вероятностных пространств с использованием понятия независимости для объединения разнородных опытов – например бросания несимметричной монеты и симметричной игральной кости одновременно. В этом случае первая координата имеет два значения (1 – герб) , вторая - шесть и
Здесь p – вероятность выпадения герба.
2. Замена параллельно или последовательно соединенных элементов одним является частным случаем т.н. отображения вероятностных пространств. Действительно, для расчета вероятностей отказа нам пришлось описать исходную систему с n элементами элементарным исходом с n двоичными координатами ( по числу элементов). При этом число возможных состояний системы равно
С другой стороны с точки зрения надежности система может находится только в двух состояниях – исправна или неисправна (отказ). Поэтому для описания надежности системы достаточно двух элементарных исходов – 0,1. Еще раз заметим, что один опыт, с разной степенью детальности может быть описан разными пространствами элементарных исходов.
Каждому элементарному исходу (состояниям элементов) в первом пространстве соответствует либо 0 (отказ системы) либо 1 (исправность системы) во втором пространстве.
Таким образом мы имеем два вероятностных пространства, основное
на котором мы задали вероятность с использованием детальных представлений об опыте и второе (пространство значений)
,
B – наибольшая сигма-алгебра.
Во втором пространстве мы определили вероятность с помощью отображения (функции )
которая каждому элементарному исходу первого опыта ставит в соответствие элементарный исход второго опыта.
Замена сложной системы одним элементом равносильна указанному отображению пространств. Вероятность на втором пространстве не определяется независимо, а вычисляется с использованием вероятности, заданной на основном пространстве и отображения
Если изменить вероятность на основном пространстве или отображение, то изменится и вероятность на пространстве значений. Например, при изменении надежности отдельных элементов изменится вероятность P, при изменении схемы соединения – отображение.
Для того чтобы отметить зависимость вероятности на пространстве значении от основной вероятности и отображения ее обозначают
например