Геометрическое распределение

Геометрическое распределение приписывает точке kвероятность

Построим функцию распределения геометрического распределения

На следующем рисунке приведен график функции распределения геометрического распределения при p=0,4.

Случайная величина, имеющая геометрическое распределение называется геометрическая случайная величина. Для геометрического распределения используют обозначение

.

Пуассоновское распределение

Пуассоновское распределение приписывает точке kвероятность

Построим функцию распределения пуассоновского распределения

На следующем рисунке приведен график функции распределения пуассоновского распределения при =2.

Случайная величина, имеющая пуассоновское распределение называется пуассоновская случайная величина. Для пуассоновского распределения используют обозначение

.

Произвольное дискретное распределение

Общий вид функции распределения дискретного распределения, приписывающего вероятности действительным числам

Заметим, что скачок функции в точке

равен

Заметим, что данное определение дискретной случайной величины более общее, чем ранее введенное. Сообразите, почему?

Случайная величина, имеющая дискретное распределение, обычно называется дискретная случайная величина.

Функция распределения случайной величины

Если случайная величина имеет распределение с функцией распределения F, то говорят, что F – функция распределения случайной величины. В этом случае, очевидно,

Если нам будет важно отметить, какой случайной величине соответствует функция распределения F, будем отмечать это так

Непрерывные распределения на прямой

Распределение называется непрерывным, если его функция распределения непрерывна. Случайная величина, имеющая непрерывное распределение, обычно называется непрерывная случайная величина.

Для дискретных распределений мы вычисляли функцию распределения, зная вероятность. Теперь, наоборот, мы будем задавать функцию распределения и исследовать свойства получающейся вероятности.

Равномерное распределение на отрезке – мера Лебега.

Рассмотрим следующую функцию распределения

Какими свойствами обладает вероятность, соответствующая этой функции распределения?

Нетрудно увидеть, что вероятность отрезка, целиком лежащего внутри отрезка [0,1], равна его длине.

В общем случае для любого отрезка

его вероятность равна длине его пересечения с отрезком [0,1]

Вероятность одноточечного множества равна нулю.

Такая вероятностная мера называется мера Лебега на отрезке [0,1] или равномерное распределение на отрезке [0,1].

Равномерное распределение применяется в тех случаях, когда исход опыта – абсолютно случайная точка отрезка [0,1], например, случайный момент времени. Во многих языках программирования есть функция, возвращающая случайное число из отрезка [0,1] (rand(), random() и т.п. ) – датчик случайных чисел.Используя равномерное распределение, можно моделировать другие распределения, например, бернуллиевское. Действительно, если

равномерно распределена на отрезке [0,1], то

случайная величина

имеет

бернуллиевское распределение с параметром p.

Рассмотрим следующую функцию распределения

Покажите, что если , то. Нарисуйте график соответствующей функции распределения.

эта функция распределения называется функция распределения равномерного распределения на отрезке [a,b]. Случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [a,b], называется равномерно распределенная на отрезке [a,b] случайная величина. Для равномерного распределения используют обозначение .