![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость почти наверное
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Расчет шансов и прогнозирование последствий
Первые задачи на расчет вероятностей были связаны с анализом азартных игр. Знание шансов различных вариантов выпадения игральных костей может помочь в правильном определении ставок, знание вероятности появления в прикупе нужной комбинации карт может помочь принять правильное решение о выборе варианта игры. Первые ошибки в расчетах были связаны также с азартными играми.
Типичные ошибки при решении вероятностных задач без применения теории вероятностей
Ошибка шевалье де Мере (XVII век)
Рассмотрим опыт, состоящий в бросании трех симметричных игральных костей. Наблюдается сумма очков на их верхних гранях.
Вопрос:
Какое значение суммы вероятней – 11 или 12? Подсчет де Мере показывал, что шансы одинаковы, однако на опыте 11 выпадало чаще. Правильный ответ на вопрос Почему?дал Паскаль.
Ошибка Д’Аламбера
В семье из двух детей могут быть два мальчика, две девочки или мальчик и девочка. Следовательно, вероятность того, что в семье есть мальчик, равна (по Д'Аламберу) 2/3. На практике, однако, доля семей с двумя детьми, из которых один мальчик, близка к 1/2 . Почему?
Задача о днях рождения
Более половинывсех типичных (24-30 студентов) студенческих групп содержат как минимум двух студентов с одинаковыми днями рождения. Опрос студентов о шансах такого совпадения дает величину вероятности порядка одной сотой - одной десятой.Почему вероятность > 0.5?
Понимание природы вещей и причин явлений
В результате занятий теорией вероятностей возникает так называемая вероятностная интуиция, помогающая лучше понимать природу окружающего мира и причины явлений. Принятие решений становится более обоснованным.
Парадокс движения автобусов
Интервал движения автобусов 10 минут. На первый взгляд кажется, что среднее время ожидания автобуса на остановке – 5 минут. Однако на практике оно больше, и может составлять те же 10 минут. Почему?
Игра с тремя разными костями
Правила игры просты: На 18 гранях трех игральных костей проставлены разные числа от 1 до 18. Игрок предлагает Вам на выбор любую игральную кость из трех. После этого он выбирает себе одну из оставшихся и предлагает Вам бросить эту пару костей. Если на Вашей кости выпадет больше, то выигрыш Ваш. Вы имеете полную возможность выбрать "наилучшую" кость из трех, попробовать снова и снова. Почему же Вы чаще проигрываете, чем выигрываете?
Новый язык для описания объектов
Теория вероятностей дала точное определение многим обыденным понятиям (вероятность, среднее значение …) и ввела в повседневный обиход много специальных терминов (математическое ожидание, корреляция, гауссовское распределение…)
Примеры практических задач, при решении которых применяется теория вероятностей
Область практических приложений теории вероятностей очень широка и будет расширяться в дальнейшем
Расчет размера буфера в устройствах передачи и обработки информации
Потоки информации в информационных системах и устройствах передачи данных заранее предсказать невозможно. Для уменьшения потерь и ускорения обработки информации предусматриваются буферные устройства и кэши. Как рассчитать необходимые размеры буфера и кэша, позволяющие с минимумом затрат добиться заданного качества?
Определение объема закупки товара или выпуска продукции на рынок
Сколько мороженого заказать для продажи на завтрашнем футбольном матче? Какой объем партии продукта разумно разместить для продажи на заданном рынке? Как добиться максимальной прибыли от вложения средств – ведь будущий спрос случаен.
Управление продажей авиабилетов
Действительно, так и делают. |
Нельзя ли зная статистику продаж билетов на авиарейсы определить оптимальные тарифы на них? Как сделать так, чтобы пассажир, готовый выложить 600$ за 200$-ый билет, выложил их, и позволил авиакомпании перевезти на свободных местах еще трех студентов со скидкой? |
Расчет надежности сложной системы
Если из 10 ракет долетело 8, то надежность равна 80%. |
Как сделать так, чтобы для проверки надежности баллистической ракеты, нацеленной на Пентагон, не пришлось запускать ее десять раз по цели? |
Оценка доли брака или стоимости коллекции
Цена бриллианта очень сильно зависит от его физических параметров. Ценность мешка бриллиантов не связана жестко с его весом . |
Как проверить качество партии жвачки, не жуя каждую пластинку? Как оценить качество патронов, не расходуя их всех? Сколько их действительно надо проверить, чтобы не проиграть войну? Как оценить мешок бриллиантов, не оценивая каждый камушек в отдельности? |
Принятие типового решения в условиях неопределенности
Теория вероятностей хорошо подходит для обоснования стратегии, решения или способа поведения в повторяющихся (типовых) ситуациях, когда можно, построив математическую модель объекта или процесса, заранее рассчитать наиболее верное решение и его последствия.
Задача о студенте на экзамене
Студент знает только 20 билетов из 30. Каким по порядку ему лучше идти на экзамен, чтобы вероятность получить хороший билет была наибольшей?
Примеры практических задач, при решении которых не стоит применять теорию вероятностей
В некоторых случаях теорию вероятностей лучше не применять
Принятие важного решения, от которого зависит успех всего проекта
Неопределенность присутствует во многих практических задачах, но не всегда она является случайностью в рассматриваемом в теории вероятностей смысле. Например, решение участвовать в крупном проекте, требующем значительных затрат, должно учитывать положение на фондовом рынке. Если успех проекта зависит от неизвестного фактора, то не стоит обязательно считать его случайным. Иногда полезнее оценить его возможные значения и принять решение, которое минимизирует потери при наихудшем развитии событий.