Вычисление маргинальных плотностей

Пусть

случайный вектор с совместной плотностью распределения

Из теоремы Фубини следует, что существует плотность распределения каждого подвектора

данного вектора, которая получается интегрированием совместной плотности по всем «свободным» переменным. В частности плотность i-той координаты вектора выглядит так

Плотность подвектора называется частная или маргинальнаяплотность.

Нетрудно показать, например, что маргинальные плотности многомерного нормального вектора также являются многомерными нормальными плотностями.

Вычисление числовых характеристик важных распределений.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию для наиболее важных распределений.

Название распределения	Математическое ожидание	Дисперсия
Вырожденное в точке a	a	0
Биномиальное (n,p)
Геометрическое p
Пуассоновское
Нормальное стандартное	0	1
Нормальное
Равномерное на отрезке (0,1)	1/2	1/12
Равномерное на отрезке (A,B)
Бета
Экспоненциальное
Гамма

Если случайные величины имеют многомерное нормальное распределение

то

Вычисление всех характеристик представляет собой, по существу, упражнения из математического анализа по суммированию рядов и взятию интегралов. Упростить в ряде случаев эти вычисления можно, если представить исследуемую случайную величину в виде суммы независимых случайных величин и воспользоваться свойствами математического ожидания и дисперсии.

Абсолютная непрерывность вероятностных мер

Понятие абсолютной непрерывности вероятностных мер и распределений играет важную роль в современной теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Дело в том, что для вероятностей, заданных в произвольных вероятностных пространствах, нельзя определить характеристику аналогичную функции распределения, но можно определить характеристику аналогичную плотности распределения. Для того, чтобы это корректно сделать, требуется понятие абсолютной непрерывности одной вероятностной меры относительно другой.

Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения

Определение абсолютной непрерывности двух мер.

Пусть - две меры, заданные на одном измеримом пространстве

Мера называется абсолютно непрерывной относительно меры, если из того, что для некоторого множестваA

, следует что

Обозначается это так

Определение эквивиалентности двух мер.

Меры называются эквививалентными, еслии

Обозначается это так

Определение сингулярности двух мер.

Меры называются сингулярными , если существует множествоAтакое, чтои.

Обозначается это так

Следующая теорема, доказательство которой проводится в курсе функционального анализа, поясняет важность понятия абсолютной непрерывности