Парадокс определения вероятностного пространства

Вернемся к исходной постановке задачи теории вероятностей. Нашей целью было построение математической модели случайного явления, которая помогла бы количественно оценить вероятности случайных событий. В то же время для построения вероятностного пространства необходимо задать вероятность, т.е. вроде бы именно то, что мы ищем (?).

Разрешение этого парадокса в том, что для полного определения вероятности как функции на всех элементах F, обычно достаточно задать ее на лишь на некоторых событиях изF,вероятность которых нам легко определить,а затем, пользуясь ее счетной аддитивностью, вычислить на любом элементеF.

Независимые события

Важным понятием теории вероятностей является независимость.

События AиBназываются независимыми, если

т.е. вероятность одновременного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей.

Попарно

События в счетном или конечном наборе называются независимыми попарно, если любая пара из них является парой независимых событий

В совокупности

События в счетном или конечном наборе называются независимыми в совокупности , если вероятность одновременного осуществления любого конечного поднабора из них равна произведению вероятностей событий этого поднабора.

Ясно, что независимые в совокупности события независимы и попарно. Обратное неверно.

Условная вероятность

Условной вероятностью события Aпри условии, что произошло событиеB называется величина

Условную вероятность пока определим лишь для событий B, вероятность которых не равна нулю.

Если события AиBнезависимы, то

Свойства и теоремы

Простейшие свойства вероятности

Следует из того, что А и не-А противоположны и свойства конечной аддитивности вероятности	Вероятность противоположного события
Следует из того, что невозможное и достоверное события противоположны	Вероятность невозможного события
Следует из того , что	Монотонность вероятности и в этом случае
Следует из того, что любое событие содержится в пространстве элементарных исходов	Ограниченность вероятности
Следует из представления	Вероятность объединения событий
Следует из предыдущего	Полуаддитивность вероятности
Докажите сами!	Счетная полуаддитивность вероятности
Следует из счетной аддитивности вероятности и определения полной группы событий	Вероятности полной группы событий Сумма вероятностей полной группы событий равна 1.
Следует из счетной аддитивности вероятности, определения полной группы событий и определения условной вероятности	Формула полной вероятности Если … - полная группа событий, то для любого событияA Если вероятности всех событий полной группы больше нуля, то также
Следует из предудущей формулы и определения условной вероятности	Формула Байеса Если … - полная группа событий ненулевой вероятности , то для любого событияA с ненулевой вероятностью

Теорема (о непрерывности вероятностной меры)

Формулировка.

Пусть

убывающая последовательность событий с пустым общим пересечением

Тогда

.

Доказательство.

Заметим, что события

попарно несовместны и

Следовательно ряд из вероятностей событий

сходится и его хвост, равный

стремится к нулю.

Докажите!

Верно и обратное – ограниченная непрерывная конечно-аддитивная функция является счетно-аддитивной.

Заметим, что для доказательства важна только конечность значения , поэтому теорема справедлива не только для вероятностных, но и для любых конечнных мер.