Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
В теории вероятностей в отличие от математического анализа рассматриваются несколько различных видов сходимости последовательности функций (случайных величин) и их распределений. Это связано с тем, что в теории вероятностей принято пренебрегать маловероятными событиями и делать это можно по разному. Ранее уже были определены поточечная сходимость случайных величин, сходимость почти наверное и сходимость вероятностных мер по вариации. Дадим еще два важных определения сходимости случайных величин – сходимость по вероятностиисходимость в среднеквадратическом, и одно определение сходимости распределений –слабая сходимость.
Сходимость почти наверное
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
Почти наверное , если
Сходимость по вероятности обозначается так
Сходимость по вероятности
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
по вероятности, если
Сходимость по вероятности обозначается так
Сходимость в среднеквадратическом
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
в среднеквадратическом (в L2) , если
Сходимость в среднеквадратическом обозначается так
Слабая сходимость распределений
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
слабо (по распределению), если
во всех точках непрерывности функции
Слабая сходимость обозначается так
Основным отличием слабой сходимости от остальных видов сходимости является то, что от случайных величин не требуется, чтобы они были определены на одном вероятностном пространстве, так как условия сходимости формулируются с использованием только их функций распределения.
Взаимосвязь различных видов сходимости
Взаимосвязь различных видов сходимости представлена на следующей диаграмме.
Заметим, что ни одну из стрелок на данной диаграмме нельзя, вообще говоря, повернуть назад, т.е. любые два вида сходимости неэквивалентны. Практическое значение имеют, в основном, слабая сходимость и сходимость в среднеквадратическом потому что они позволяют производить приближенные вычисления вероятностей и математических ожиданий и заменять одни математические модели другими. Остальные виды сходимости используются в основном при доказательстве слабой сходимости или исследовании качественных свойств модели. Поэтому более подробно исследуем взаимосвязи этих двух видов сходимости в остальными.
Покажем, вначале, что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость.
Теорема (P->W).
Пусть
.
Тогда
Доказательство.
Пусть x – точка непрерывности функции
.
Тогда
и
Таким образом
При малых
и больших n левая и правая часть неравенства
отличаются сколь угодно мало от
,
что доказывает теорему.
Доказательство завершено.
Обратная теорема верна при дополнительном условии.
Теорема (W->P).
Пусть
Тогда
Доказательство.
Доказательство завершено.
Покажем, что из сходимости в среднеквадратическом следует сходимость по вероятности.
Теорема (L2->P).
Пусть
Тогда
Доказательство.
Используем неравенство Маркова
.
Доказательство завершено.
Следующая теорема дает пример применения предыдущей теоремы для доказательства сходимости относительной частоты события к его вероятности в схеме Бернулли.