- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость почти наверное
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Случайные события
Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.
Информационный смысл понятия сигма - алгебра
В теории вероятностей предполагается, что в опыте наблюдаются события, а не элементарные исходы. Это означает, что два описания опыта с одним и тем же пространством элементарных исходов, но разными сигма-алгебрами будут различны. Если в опыте с бросанием двух игральных костей определить пространство с 36 исходами (5 вариант), то тривиальная сигма-алгебра и наибольшая сигма–алгебра дают абсолютно разные описания опыта. Наблюдая события тривиальной сигма–алгебры мы не получаем никакой информации об значении элементарного исхода, наблюдая события второй точно знаем, какое из элементарных событий произошло. Любая другая сигма-алгебра дает частичную информацию об элементарных исходах. Например, сигма-алгебра
дает только информацию о том, совпадают ли значения на двух игральных костях.
Пересечение сигма-алгебр
Самостоятельное доказательство этого утверждения является хорошим средством для того, чтобы понять, что такое сигма-алгебра |
Пересечение двух любых сигма-алгебр, определенных на одном и том же пространстве элементарных исходов также является сигма-алгеброй. Аналогично пересечение любого (не обязательно счетного) количества сигма-алгебр, определенных на одном и том же пространстве элементарных исходов также является сигма-алгеброй. |
Минимальная сигма-алгебра
ПустьD – некоторый набор случайных событий (набор любой мощности). Пересечение всех сигма-алгебр, содержаших этот набор, называетсяминимальная сигма-алгебра,порожденная наборомDи обозначается
В частности, если событие , то
Полная группа событий
Полная группа событий это полная группа подмножеств, каждое из которых является событием. Говорят , что события полной группы это разбиение пространства элементарных исходов.
Конечно-аддитивная функция
Пусть A – алгебра. Функция, отображающая алгебру в множество действительных чисел
называется конечно-аддитивной, если для любого конечного набора попарно несовместных событий
Счетно-аддитивная функция
Пусть F– алгебра или сигма-алгебра. Функция
называется счетно-аддитивной, если она конечно-аддитивна и для любого счетного набора попарно несовместных событий
Мера
Мера - это неотрицательная счетно-аддитивная функция, определенная на сигма-алгебре, удовлетворяющая условию
Конечная мера
Мера называется конечной, если
Вероятность
Вероятность (вероятностная мера) Pэто мера такая , что
С этого момента мы перестанем измерять вероятность в процентах и начнем измерять ее действительными числами от 0 до 1.
Когда вы пишите P всегда представляйте себе, какое пространство элементарных исходов и сигма-алгебра имеются в виду. Тогда вы сможете избежать многих ошибок |
Обозначение P (Probability) для вероятности является стандартным, не стоит только забывать,что сама по себе (без определения пространства элементарных исходов и сигма-алгебры) вероятность не определена. |
Число
называют вероятностью события A
Вероятностное пространство
Вероятностное пространство это совокупность трех объектов – пространства элементарных исходов, сигма-алгебры событий и вероятности.
Это и есть математическая модель случайного явления или объекта.