Закон больших чисел в форме Бернулли

Пусть - число успехов вn испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успехаp. Тогда

Доказательство.

Доказательство завершено.

Таким образом, для доказательства слабой сходимости достаточно доказать сходимость по вероятности или в среднеквадратическом.

При доказательстве теорем о слабой сходимости используется также следующая важная теорема.

Теорема ({Хелли-Брея).

Пусть

и

- непрерывная ограниченная функция. Тогда

.

Доказательство.

Любую непрерывную на всей прямой функциюможно сколь угодно точно приблизить линейной комбинацией ступенчатых функций на любом интервале [-A,A) , A>0.

Выберем A так, чтобы точки –A, A и точки разбиения

были бы точками непрерывности функции распределения

Тогда интегралы

одинаковым образом выражаются через значения функций распределения ии могут быть сделаны сколь угодно близкими выбором достаточно большого n. Следовательно, близки и интегралы

Так как функция ограничена, то выбором достаточно большого A можно сделать сколь угодно малыми интегралы

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема.

Теорема (Обратная теорема Хелли-Брея)

Пусть для любой

непрерывной ограниченной функции

Тогда

Доказательство.

Идея доказательства аналогична идее доказательства предыдущей теоремы и основана на возможности приблизить ступенчатую функцию непрерывной функцией. Действительно, опять выбирая подходящие точки непрерывности и полагая

видим, что близкие между собой интегралы

можно сделать сколь угодно близкими, соответственно. к интегралам

Теорема доказана.

Так как

,

то последние две теоремы дают необходимые и достаточные условия слабой сходимости в терминах сходимости математических ожиданий от непрерывных ограниченных функций.

Теорема (f(W)).

Пусть

и

- непрерывная функция. Тогда

.

Доказательство.

Так как подстановка непрерывной функции в ограниченную непрерывную функцию приводит снова к непрерывной ограниченной функции, то доказательство этой теоремы напрямую следует из теорем Хелли-Брея.

Теорема доказана.

Нетрудно показать, что верна также следующая теорема

Теорема (f(P)).

Пусть

и

- непрерывная функция. Тогда

.

Доказательство этой и следующих двух теорем проведите самостоятельно в качестве упражнений.

Теорема (W+P->W).

Пусть

и

Тогда

Теорема (W*P->W).

Пусть

и

Тогда

Теорема Шеффе

Следующая теорема показывает, что из поточечной сходимости плотностей следует сходимость соответствующих им мер по вариации

Теорема Шеффе

Пусть - вероятностные меры, абсолютно непрерывные относительно мерыи- соответствующие плотности меротносительно меры

Тогда, если , то

Доказательство этой теоремы проведите самостоятельно по схеме доказательства соответствующего утверждения в теореме Пуассона с использованием теоремы Лебега о мажорированной сходимости.

Сглаживание распределений

Примером последовательности случайных величин, сходящихся в среднеквадратическом к нулю является последовательность

Так как

,

то для любой случайной величины и, следовательно,во всех точках непрерывности функции распределения. Так как , нормальное распределение имеет плотность, то случайная величинатоже имеет плотность даже для разрывной функции распределенияи ее функция распределения при больших n является гладким приближением функции распределения.

Характеристические функции случайных величин и их распределений

В данном разделе вводится определение характеристической функции случайной величины. Эти функции являются основным инструментом доказательства теорем о слабой сходимости в классической теории вероятностей.

Математическое ожидание комплекснозначной функции от случайной величины

Пусть - случайная величина и- комплекснозначная функция

.

Тогда математическое ожидание

Определение характеристической функции

Пусть - случайная величина. Характеристической функцией случайной величиныназывается функциядействительного аргумента t

Свойства характеристической функции

Очевидные свойства характеристической функции приведем без доказательства

1. Характеристическая функция существует для любой случайной величины

2. 

3. 

4. равномерно непрерывна. Действительнопо теореме Лебега о мажорируемой сходимости.

5. Если существуетдля некоторого k=1,2,..., то существует ипричем. Для доказательства достаточно продифференцировать необходимое количество раз интеграл, определяющий характеристическую функцию, по параметру t.

6. 

7. Пустьи- две независимые случайные величины, тогда. Это следует их того, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

8. Если - плотность случайной величины, то- является преобразованием Фурье плотности. Подробно свойства преобразования Фурье рассматриваются в курсе математического анализа.