- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •Конечные разности функции .
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Некоторые регрессионные модели.
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
2.2. Уточнение корней
На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку его локализации , с заданной точностью . Это означает, что вычисленное значение корня должно отличаться от точного не более чем на величину : .
Рассмотрим основную идею численных методов определения прибли-женных значений корней нелинейных уравнений. Прежде всего, некоторым образом выберем начальное приближение к корню . На основании значения по некоторой формуле вычислим следующее приближение , затем на основании вычислим и т.д. до . При этом основная задача численных методов заключается в обеспечении сходимости последовательности приближенных значений к корню. Каждый шаг приближения называется итерацией (от латинского iteratio – повторение), а сами методы уточнения значения корня – итерационными методами. В результате выполнения серии итераций получается последовательность приближенных значений корня , которая называется итерационной последовательностью.
В общем случае при поиске корня уравнения строится последовательность приближений , такая что . Тогда итерационный процесс сходится к точному значению корня.
Сходимость итерационного процесса означает, что погрешность каждого последующего приближения должна быть меньше погрешности предыдущего приближения, то есть погрешность приближенных значений с каждым шагом должна уменьшаться , и каждое значение должно быть ближе к корню, чем значение . В общем виде данное неравенство можно представить следующим образом:
, (*)
где и – некоторые числа, конкретные значения которых определяются особенностями используемого метода уточнения корня.
От значений и зависит, на сколько при каждой итерации уменьшается погрешность приближенных значений и, соответственно, насколько быстро можно получить приближенное значение корня с заданной точностью. Главным показателем скорости сходимости метода является значение . При погрешность с каждым шагом убывает линейно, в этом случае говорят о линейной сходимости или о сходимости со скоростью геометрической прогрессии. Если , то говорят, что имеет место квадратичная сходимость и т.д. Скорость сходимости является важнейшей характеристикой итерационного процесса.
Определение 2.1. Последовательность сходится с линейной скоростью или со скоростью геометрической прогрессии, если существует число , , такое, что .
Определение 2.2. Последовательность сходится со сверхлинейной скоростью, если существует последовательность , , такая, что .
Определение 2.3. Последовательность сходится с квадратичной скоростью, если существует число , такое что .
Определение 2.3 может быть распространено на любые случаи сходимости, для которых в неравенстве (*) показатель степени .
Для некоторых из рассматриваемых далее методов определения корней нелинейных уравнений требуется знакопостоянство не только первой, но и второй производной соответствующих функций на отрезках локализации корней. Методы, в которых используются только значения функции , называются методами нулевого порядка. Методы, использующие и , называются соответственно методами первого и второго порядка.