Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
Математически
условие сходимости можно установить
следующим образом. Представим приближения
и
в форме
и
,
где
и
– отклонения приближений от корня.
Функцию
вблизи точки
приближенно заменим первыми двумя
членами ряда Тейлора, тогда итерационная
формула (2.11) примет вид
,
но поскольку является корнем уравнения, то первые слагаемые в правой и левой частях этого выражения тождественно равны и, следовательно,
.
Для сходимости
итерационного процесса необходимо,
чтобы погрешность на каждом шаге убывала
(
),
откуда следует, что в окрестности корня
должно выполняться условие
(то есть
). (2.12)
Таким образом, для
того чтобы итерационный процесс (2.11)
был сходящимся, необходимо, чтобы
абсолютная величина производной
в окрестности корня была меньше единицы.
Если это условие выполняется на отрезке
локализации корня, то в качестве
начального приближения можно взять
любую точку, принадлежащую данному
отрезку (
).
Переход от уравнения
(2.1) к уравнению в итерационной форме
(2.10) можно осуществить различными
способами в зависимости от вида функции
.
Необходимо построить функцию
так, чтобы выполнялось условие сходимости
(2.12). Рассмотрим один из общих алгоритмов
перехода от уравнения (2.1) к уравнению
(2.10). Умножим левую и правую части
уравнения (2.1) на произвольную константу
и добавим к обеим частям неизвестное
.
При этом корни исходного уравнения не
изменятся
или
.
(2.13)
Уравнение (2.13)
эквивалентно уравнению (2.10), если
положить, что
.
Произвольный выбор константы
позволяет обеспечить выполнение условия
сходимости (2.12). Поскольку в данном
случае
,
значение
следует выбирать так, чтобы выполнялось
условие
.
Желательно выбрать
величину
такой, чтобы
,
тогда сходимость будет двухсторонней
(рис. 2.12.в). В этом случае в качестве
критерия окончания итерационного
процесса можно использовать соотношение
(2.6).
Замечание.
При сходимости последовательных
приближений к корню с разных сторон,
что имеет место при
в окрестности корня (рис.2.12.в), величина
превосходит истинную погрешность, то
есть
и критерий окончания итерационного
процесса (2.6) является объективным. Если
же
,
то сходимость к корню носит односторонний
характер (рис. 2.11.а), и условие
может выполниться гораздо раньше
требования
.
В этом случае контроль достигнутой
точности лучше осуществлять проверкой
неравенства
,
где
.
Наибольшая скорость
сходимости в методе итераций будет
наблюдаться при
.
Этого можно добиться, выбрав параметр
зависящим
от
в виде
.
При этом итерационная формула (2.11) переходит в формулу Ньютона
.
Таким образом, метод Ньютона можно трактовать как частный случай метода итераций, обладающий максимальной скоростью сходимости.
2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
Рассмотренные в данной главе методы хорд и касательных могут быть объединены в комбинированный метод, так как их совместное применение на каждой итерации позволит значительно быстрее сокращать длину отрезка локализации корня. Вместе с тем вычислительная сложность полученного комбинированного метода будет сопоставима с суммарной вычислительной сложностью методов хорд и касательных.
Пусть рассматривается
отрезок локализации корня
.
Комбинированный метод может быть
применен, если выполняются следующие
условия:
и
и
сохраняют знак на отрезке
.
При выполнении указанных условий
приближения к корню уравнения
по методу хорд и по методу касательных
подходят к значению
данного корня с противоположных сторон.
Поэтому для быстроты нахождения корня
удобно применять оба метода одновременно.
Так как один метод даёт значение корня
с недостатком, а другой – с избытком,
то достаточно легко добиться заданной
точности. Схема решения нелинейного
уравнения комбинированным методом
включает следующие этапы:
Вычисление значений функции
и
.Проверка выполнения условия . Если условие не выполняется, то отрезок выбран неправильно.
Нахождение производных и .
Проверка постоянства знаков производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то отрезок выбран неверно.
Для метода касательных за выбирается тот из концов отрезка , где выполняется условие
,
то есть
и
имеют один знак. Другой конец отрезка
выбирается для метода хорд, обозначим
его через
.Расчет приближения корней по каждому из методов:
а) по методу
касательных:
;
б) по методу хорд:
.
Вычисление первого приближения корня:
.Проверка выполнения условий:
– для метода касательных;
– для метода хорд;
– для комбинированного метода. Здесь
– заданная точность вычисления корня.
Если какое-либо условие не выполняется,
то применение метода продолжается с
пятого шага для тех методов, условия
прекращения выполнения которых не
выполнены.
После первой
итерации отрезок локализации корня
сужается и принимает вид
.
На второй итерации приближенные значения
корня для методов касательных и хорд
(в соответствии с пунктами 5 и 6)
рассчитываются соответственно по
формулам:
и
.
В общем случае
вычисления продолжаются, пока не будет
найдено такое приближение корня
,
при котором
и
совпадут с точностью
.
Формулы расчета приближений корня на итерации имеют вид
и
.